数据与算法：非线性拟合与插值方法详解

本课程讲义主要围绕"数据与算法"中的关键概念——拟合与插值展开讨论。非线性方程的特性与迭代求解方法是开场的话题，强调了线性方程组的分类，包括超定（多余观测）和欠定（观测不足）情况，以及如何通过“最小二乘”法寻找近似解。线性拟合是核心内容，如二次多项式拟合示例展示了如何通过矩阵形式求解超定方程，确保找到最佳拟合参数。 课程深入讲解了线性最小二乘解的存在性和唯一性条件，指出当矩阵'A'的列向量线性无关时，解是唯一的，而当'A'不满秩时，解可能不唯一。正规方程法在此处显得尤为重要，它是一种在'A'列向量构成的子空间中寻找最小残差解的方法。正规方程本身是一个恰定方程，只有在'A'列向量线性无关时才具有精确解。若'A'满秩，通过Cholesky分解利用矩阵的正定性质，可以有效地求解正规方程。 课程还涉及多项式插值，这是另一种数据拟合技术，通过给定数据点构建多项式函数，使得该函数在这些点上的取值尽可能接近真实数据。通过实例演示了如何通过矩阵运算找到多项式的系数，使模型函数能最好地匹配数据点。 这门课件深入浅出地介绍了数据拟合中的基础理论和方法，包括线性与非线性方程的求解策略，以及在实际应用中如何通过正规方程法处理线性最小二乘问题，对于理解和应用数据处理和机器学习中的基础建模技巧非常有帮助。