线性定常系统动态方程及其状态空间表示法详解

本资源主要探讨的是线性定常系统的控制理论，特别是在现代控制理论框架下的状态空间表示法。章节首先介绍了控制理论的核心目标，即分析和综合，即理解一个给定系统的运动特性，并设计具有特定特性的控制系统。控制理论的基础在于建立系统的数学模型，这通常通过微分方程来实现。 微分方程是描述控制系统动态行为的基本工具，有直接从系统运动机制出发构建和通过系统辨识两种方法。以RLC电路为例，通过写出系统的动态方程来展示这两种方法的应用。RLC电路中的动态方程可以表示为两个一阶微分方程，分别描述输入与输出之间的关系。 在处理这些原始方程时，可以采用两种策略：一是将它们转化为单变量的高阶微分方程，二是利用状态方程组的形式，这是状态空间学派的主要工具。状态方程组是一种标准形式，它以系统的状态变量及其变化率作为方程的主体，便于分析和设计控制策略。 在状态方程组中，如电路中的例子，状态变量可能包括电感电流、电压等，而状态方程则展示了这些变量如何随时间演变。通过状态变量矩阵和输入矩阵，我们可以将RLC电路的状态方程具体化为： \[ \begin{bmatrix} \frac{dx_1}{dt} \\ \frac{dx_2}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{LC} & -\frac{R}{LC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{LC} \end{bmatrix} u(t) \] 其中，\( x_1 \) 和 \( x_2 \) 分别代表状态变量，\( u(t) \) 是输入，矩阵中的系数反映了电路参数对系统动态的影响。状态空间方法不仅适用于RLC电路，也广泛应用于其他复杂控制系统的设计和分析，是现代控制理论中不可或缺的一部分。通过掌握状态空间描述，工程师能够更深入地理解和设计复杂的控制系统，优化其性能和稳定性。