线性代数习题解析：特征值与矩阵可逆性

"本章习题主要涉及线性代数中的矩阵理论，特别是特征值、特征向量和矩阵运算的相关知识。题目涵盖了矩阵的可逆性、伴随矩阵、特征值的性质、矩阵乘积的特征值、特征向量的线性相关性、特殊矩阵的构造及其特征值等多个方面。" 1. 对于3阶矩阵A，如果其特征值为2, 1, 4，矩阵可逆的条件是特征值都不为0。因此，(A) E - A, (B) 2E - A, (D) 4A - E 都可能不可逆，因为它们的行列式可能会包含0。只有(C) 2E + A 的行列式不会是0，故该矩阵可逆。 2. 实矩阵A的伴随矩阵A*的特征值与A的特征值有特定关系。若A*的特征值为2, 1, 1, 4的相反数，即-2, -1, -1, 4，则(E + A)的行列式不为0，所以(B) E + A 可逆。 3. 若3阶方阵A不可逆，且A的迹（所有对角元素之和）为0，A的伴随矩阵A*的行列式为A的行列式的商，即(-1)^(n-1)|A|。由于A不可逆，|A| = 0，所以A*也不可逆，其特征值不可能全为非零。A的特征值和A*的特征值之和为0，故A的特征值为2, -1, -1。 4. 方阵A有特征值1和2，齐次线性方程组AX = 0有非零解，表明特征值1对应的几何重数大于1。B = 2A - 3E，B的特征值为2A的特征值减去3，即-1和-1（重复），1。|B|是B的特征值的乘积，为1。trB（B的迹）是特征值的和，为-1。 5. 矩阵A有3个实特征值，任意两个特征向量线性相关意味着它们不是线性无关的，因此A的特征值至少有一个重复。由对角元素之和，A的迹为1 + a + 3，而|A| = (1 - a)(-1) * 3，由此可解得a = 2，特征值为1, 2, 2。 6. 特征向量必须线性无关，所以1, 0, 1和0, 1, 1是线性无关的，但1, 2, k也必须是。若k = 2，所有特征向量都是线性相关的，所以k不能等于2。特征值1, 2, 3对应特征向量[1, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 2, k]，k的取值范围为k ≠ 2。 7. 设2阶矩阵A的特征值为α1, α2，特征向量为v1, v2，由题意知v1, v2线性无关，且满足A(v1 + v2) = α1v1 + α2v2。代入特征值和特征向量，得到A = α1E + α2E = (α1 + α2)E。因此，A是一个对角矩阵，其主对角线元素为特征值。 8. 选项中，(1) A-1 是A的逆矩阵，特征值互为倒数；(2) A^T 是A的转置，特征值相同；(3) A^2 + 2A + 3E 的特征值是A的特征值的平方加2倍的原特征值再加3；(4) SAS^-1 是A的标准正交化，保持特征值不变；(5) A* 是A的共轭转置，对于实矩阵，特征值不变。所以有3个矩阵保留了A的特征向量。 9. 行列式|A| = -1，A*的一个特征值λ0 = 0，对应的特征向量是[1, 1, 1]^T。利用伴随矩阵的性质，有|A| * λ0 = det(A*), 所以A*的行列式也为-1。进一步求解abc，可以构建关于λ0的方程组，最终得到abc的值。 10. 4阶方阵A与B相似，它们的特征值相同。已知A的特征值为2, 3, 4, 5，所以B也有这些特征值。由|2E - A| = 0，|3E - A| = 0，|4E - A| = 0，|5E - A| = 0，我们可以找到A的矩阵形式，进一步推导出B的矩阵形式。 以上是对各个问题的详细解答，涵盖了矩阵的可逆性、伴随矩阵的性质、特征值与特征向量的关系等核心概念。