K-means聚类算法详解：最大似然估计与代表元素法

本章节深入探讨了数据挖掘与分析中的代表基聚类方法，特别是K-means算法。在第13章，主要关注于代表性基础聚类，这是通过寻找数据点中最能代表整个簇的中心（即均值μi）来进行的。K-means算法的关键在于最大化簇内的相似度，同时最小化簇间的差异。 首先，K-means通过计算每个数据点到当前簇中心的距离平方和（d1）来确定每个数据点所属的簇。如果数据点xj属于簇Ci，其后验概率P(Ci|xj)为1，否则为0。整个数据集的后验概率分布由每个簇的混合概率P(Ci)决定。 为了估计群集参数，包括均值μi、协方差矩阵Σi以及每个簇的概率P(Ci)，本节引入了最大似然估计法。最大似然估计是根据数据集D给出的最佳参数估计，使得数据产生该观测结果的概率最大。对数似然函数对于簇参数的偏导数被用来找到最优解，通过对每个参数取偏导数并令其等于零进行求解。 对数似然函数与数据点的联合概率密度函数有关，对于K-means，涉及到的是多元正态分布，其中协方差矩阵Σi的大小被固定为单位矩阵，简化了后续的计算。对数似然函数的导数与均值μi的估计紧密相关，具体表达式包含了数据点的均值误差项的乘积和协方差矩阵的逆。 为了估计均值μi的最大似然估计，需要利用指数函数的链式法则，将对数似然函数关于μi的偏导数转化为与误差项和协方差矩阵相关的函数。这一步骤的结果是一个关于μi的函数，通过求解这个函数的极值点，即可得到μi的最大似然估计。 总结来说，本部分讲解了K-means算法的核心思想，以及如何通过最大似然估计来优化群集参数，包括均值的计算方法。这些概念在实际的数据挖掘和机器学习项目中，特别是在聚类任务中，是至关重要的基础。理解并掌握这些原理，能够帮助数据分析师有效地进行数据探索和模式识别。