"第14章二阶微分方程习题解答及通解求解"
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更新于2024-01-05
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第14章二阶微分方程习题解答:
(1) 1yyx¢¢¢=
解: 设通解为y=xc. 则
1yy¢¢¢=1xc¢¢¢=d²(dxc)/dx²=d²c/dx²
代入原方程得,d²c/dx² + c = 0
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程,特征方程为r² + 1 = 0
解得r = ±i,所以通解为c = C₁cos(x) + C₂sin(x),其中C₁和C₂为任意常数。
(2) 0yyx¢¢¢--=
解: 设通解为y=xc. 则
0yyx¢¢¢--=0xc¢¢¢––=0d²c/dx²-c=0
这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程为r² - 1 = 0
解得r = ±1,所以通解为c = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ,其中C₁和C₂为任意常数。
(3) 310y y¢¢- =
解: 设通解为y=xc. 则
310yy¢¢-=-310xc¢¢–c=0
这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程为3r² - 10r + 1 = 0
解得r = (5±√7)/3,所以通解为c = C₁e^((5+√7)/3)x + C₂e^((5-√7)/3)x,其中C₁和C₂为任意常数。
习题14-3的解答(A):
1. 求下列微分方程的通解
(1) 1yyx¢¢¢=
(2) 0yyx¢¢¢--=
(3) 310y y¢¢- =
解:
(1) 根据前面的分析,方程的通解为y = C₁cos(x) + C₂sin(x),其中C₁和C₂为任意常数。
(2) 根据前面的分析,方程的通解为y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ,其中C₁和C₂为任意常数。
(3) 根据前面的分析,方程的通解为y = C₁e^((5+√7)/3)x + C₂e^((5-√7)/3)x,其中C₁和C₂为任意常数。
2. 已知方程211(1 ln )0x yyyxx¢¢¢- -=的一个解1lnyx=,求其通解.
解:
已知的一个解为y=1ln(x)。
根据常数变易法,设通解为y=uln(x),其中u=u(x)是待定函数。
对y=uln(x)求导得,
y' = uln(x)' + u'(ln(x)) = uln(x)' + u/x
y'' = (uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x = (uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x
将y=uln(x)代入原方程得,
2111(1 ln )0( uln(x))(( uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x) -=
解得,
( uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x + uln(x) = 0
整理得,
( uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x + uln(x) - 1 = 0
要使上述方程成立,可令u''(ln(x)) + 2u'/x + uln(x) - 1 = 0
进一步化简得,
u''(ln(x)) + 2u'/x + uln(x) = 1
这是一个一阶线性常系数齐次微分方程,令p = u',则上述方程可化为,
p'(ln(x)) + 2p/x + uln(x) = 1
此方程的通解为,
p = C₁eˣ/x²
对p求积分得,
u = C₁(∫(eˣ/x²)dx) + C₂
对u求积分得,
y = C₁(∫((∫(eˣ/x²)dx)ln(x))dx) + C₂x + C₃
其中C₁,C₂,C₃为任意常数。
根据已知条件y=1ln(x),代入上述通解,可求得C₁,C₂,C₃的值。
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