"第14章二阶微分方程习题解答及通解求解"

第14章二阶微分方程习题解答： (1) 1yyx¢¢¢= 解： 设通解为y=xc. 则 1yy¢¢¢=1xc¢¢¢=d²(dxc)/dx²=d²c/dx² 代入原方程得，d²c/dx² + c = 0 这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，特征方程为r² + 1 = 0 解得r = ±i，所以通解为c = C₁cos(x) + C₂sin(x)，其中C₁和C₂为任意常数。 (2) 0yyx¢¢¢--= 解： 设通解为y=xc. 则 0yyx¢¢¢--=0xc¢¢¢––=0d²c/dx²-c=0 这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程为r² - 1 = 0 解得r = ±1，所以通解为c = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ，其中C₁和C₂为任意常数。 (3) 310y y¢¢- = 解： 设通解为y=xc. 则 310yy¢¢-=-310xc¢¢–c=0 这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程为3r² - 10r + 1 = 0 解得r = (5±√7)/3，所以通解为c = C₁e^((5+√7)/3)x + C₂e^((5-√7)/3)x，其中C₁和C₂为任意常数。 习题14-3的解答（A）： 1. 求下列微分方程的通解 (1) 1yyx¢¢¢= (2) 0yyx¢¢¢--= (3) 310y y¢¢- = 解： (1) 根据前面的分析，方程的通解为y = C₁cos(x) + C₂sin(x)，其中C₁和C₂为任意常数。 (2) 根据前面的分析，方程的通解为y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ，其中C₁和C₂为任意常数。 (3) 根据前面的分析，方程的通解为y = C₁e^((5+√7)/3)x + C₂e^((5-√7)/3)x，其中C₁和C₂为任意常数。 2. 已知方程211(1 ln )0x yyyxx¢¢¢- -=的一个解1lnyx=，求其通解. 解： 已知的一个解为y=1ln(x)。 根据常数变易法，设通解为y=uln(x)，其中u=u(x)是待定函数。 对y=uln(x)求导得， y' = uln(x)' + u'(ln(x)) = uln(x)' + u/x y'' = (uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x = (uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x 将y=uln(x)代入原方程得， 2111(1 ln )0( uln(x))(( uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x) -= 解得， ( uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x + uln(x) = 0 整理得， ( uln(x))'' + u''(ln(x)) + 2u'/x + uln(x) - 1 = 0 要使上述方程成立，可令u''(ln(x)) + 2u'/x + uln(x) - 1 = 0 进一步化简得， u''(ln(x)) + 2u'/x + uln(x) = 1 这是一个一阶线性常系数齐次微分方程，令p = u'，则上述方程可化为， p'(ln(x)) + 2p/x + uln(x) = 1 此方程的通解为， p = C₁eˣ/x² 对p求积分得， u = C₁(∫(eˣ/x²)dx) + C₂ 对u求积分得， y = C₁(∫((∫(eˣ/x²)dx)ln(x))dx) + C₂x + C₃ 其中C₁，C₂，C₃为任意常数。 根据已知条件y=1ln(x)，代入上述通解，可求得C₁，C₂，C₃的值。