ACM图论基础：连通性、割点与连通度详解

图论在ACM竞赛中占有重要地位，因为它提供了解决许多算法问题的基础框架，尤其是关于数据结构和复杂性分析。本文档深入探讨了图的连通性这一核心概念，它是衡量图中任意两个顶点之间路径存在性的关键指标。连通图指的是图中任意两点间都存在路径，而连通度则是用来度量这种连通程度的强度。 章节"图的连通性"首先介绍了割点和割边的概念。割点定义为一个顶点，如果删除它后，图被分成两个或更多不连通的部分。例如，定理2.1.1指出，如果v是割点，那么图的边集可以分割成两部分，每部分仅与v共享一个顶点。对于连通图，一个顶点成为割点当且仅当它连接的两个子图不相互连通。 树状图中的割点有着特定的性质，如定理2.1.2所描述，树中的每个非平凡连通图至少有两个不是割点的顶点，这是通过生成树的性质得出的。同时，定义了顶点割集，即分割图的子集，其中包含的顶点数量决定了连通度。最小顶点割集是分割图成多个连通分量所需的最少顶点数量。 连通度的定义是基于顶点割集的数量，比如，一个图的连通度为k，表示至少需要删除k个顶点使其不连通。特别地，完全图的连通度为其顶点数，而空图的连通度为0。连通性的等级划分也很重要，k连通图意味着即使删除k-1个顶点，剩余部分依然连通。 割边的概念进一步细化了割点的影响，定义为删除某条边会使得图不连通的边。定理2.1.3明确指出，一条边是割边当且仅当它不在任何圈（无向图中形成环的边集合）中，这体现了边在维持图整体连通性方面的作用。 理解并掌握这些概念对解决ACM竞赛中的图论问题至关重要，因为它们不仅是理论基础，也是构建高效算法和设计数据结构的关键要素。通过深入研究和实践应用，参赛者能够提高解决问题的能力，并在实际编程挑战中展现出对图论精髓的掌握。