普里姆算法构建最小生成树详解

"本资源主要介绍了如何构造最小生成树，特别是通过普里姆(Prim)算法来实现。普里姆算法适用于连通图，通过逐步添加代价最小的边来构建最小生成树。在邻接矩阵表示的图中，算法效率为O(n²)。在算法实施过程中，对角线元素标记顶点是否已包含在生成树中，非对角线元素表示边的存在和代价。" 在数据结构中，图是一种重要的抽象数据类型，由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E)。图可以是有向或无向的，有向图中的边是有序对，而无向图中的边是无序对。在图G1和G2的例子中，展示了无向图的顶点和边的表示。 在图论中，权的概念引入到边或弧上，这样的图被称为网。最小生成树是在加权图中寻找一个边的子集，这些边连接了所有的顶点，并且总权重最小。普里姆算法就是解决这个问题的一种有效方法。 普里姆算法的步骤如下： 1. 初始化时，选择一个起始顶点u0，设置一个空的边集合TE和一个只包含u0的顶点集合U。 2. 在当前的顶点集合U和未包含的顶点集合V-U之间寻找代价最小的边(u0,v0)，并将这条边加入TE，同时将v0加入U。 3. 重复这个过程，每次选择未包含顶点集合中与已包含顶点的最小代价边，直到所有顶点都被包含在内。 4. 当U等于V时，得到的边集合TE就构成了最小生成树T=(V, {TE})。 在邻接矩阵表示的图中，算法执行时，可以利用对角线元素记录顶点是否已包含在生成树中，对角线元素为1表示顶点已包含，非对角线元素的负值表示边已存在于生成树中。算法的时间复杂度为O(n²)，其中n是图中的顶点数。 此外，图的其他概念包括顶点的度（无向图中是与顶点相连的边数，有向图中有入度和出度），路径和回路（简单路径和简单回路不包含重复顶点），以及连通性（如连通图、连通分量和强连通图等）。连通图意味着图中的任何两个顶点都可以通过路径相互到达，而强连通图则要求有向图中任意两个顶点之间都存在双向路径。