图的理论与应用：有向无环图与最短路径解析

"以上分析概要-图的课件设计，涵盖了图的定义、存储结构、遍历、连通性、有向无环图(DAG)及其应用、最短路径等核心概念。" 在计算机科学中，图是一种数据结构，用于表示对象之间的关系或连接。在【标题】和【描述】中，主要涉及了图论中的关键概念，包括关键活动的寻找、活动的持续时间计算以及有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)的应用。 1. **图的定义和术语**： - 图G由顶点集合V(G)和边集合E(G)组成，其中V(G)是有限且非空的，E(G)可以是空集。 - 有向图：边具有方向，例如弧<v,w>。 - 无向图：边无方向，如边(v,w)。 - 完全图：在无向图中，任意两个顶点之间都有一条边，边的数量为n*(n-1)/2；在有向图中，数量为n*(n-1)。 2. **图的存储结构**： - 通常有两种主要的存储方式：邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵用二维数组表示，邻接表则使用链表节省空间。 3. **图的遍历**： - 包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。DFS通常用于查找连通性，BFS常用于找到最短路径。 4. **图的连通性问题**： - 在无向图中，如果每对顶点间都有路径，则称图是连通的。在有向图中，如果从任一顶点出发能到达其他所有顶点，则称其为强连通图。 5. **有向无环图(DAG)及其应用**： - DAG在项目管理、任务调度、依赖分析等领域有广泛应用。例如，关键路径法(Critical Path Method, CPM)中，找e(i) = l(i)的关键活动，可以通过拓扑排序来确定，即e(i)是活动i的最早开始时间，l(i)是活动i的最晚结束时间。 - 求Ve(j)和Vl(j)，可以通过动态规划进行，Ve(j)是顶点j的最早开始时间，Vl(j)是顶点j的最晚结束时间。可以通过从Ve(1)=0开始向前递推，以及从Vl(n)=Ve(n)开始向后递推来计算。 6. **最短路径**： - 最短路径问题在图中寻找两个顶点之间经过最少边的路径。迪杰斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)适用于单源最短路径，弗洛伊德算法(Floyd-Warshall algorithm)可解决所有对最短路径。 通过这些概念，我们可以解决各种实际问题，如网络路由、任务调度、社交网络分析等。在实际操作中，理解并掌握这些基本的图论概念对于处理复杂系统中的关系和依赖至关重要。