信息论复习：二次扩展信源编码与熵

"这篇资料主要涉及的是信息论与编码领域，特别是二次扩展信源编码的复习。内容包括信息的一般概念、自信息量、信源熵、离散平稳信源的熵以及马尔科夫信源的相关知识。" 在信息论中，信息通常被定义为消息中的不确定性成分。在通信系统中，信号通过信道传输，承载着具有意义的消息。而消息的意义内容就是我们所说的“信息”。信息具有非负性、严格上凸性的性质，并可以通过自信息量来量化一个事件的信息含量。自信息量\( I(x_i) = -\log_2 P(x_i) \)，表示的是事件\( x_i \)发生的不确定性，其中\( P(x_i) \)是该事件的概率。 离散信源熵\( H(X) \)是衡量一个离散信源平均信息量的度量，表示为\( H(X) = -\sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log_2 P(x_i) \)。对于离散平稳信源，其联合熵\( H(X_1, X_2, ..., X_N) \)描述了多个符号同时出现的不确定性，而条件熵\( H(X|Y) \)则表示已知变量\( Y \)的情况下，变量\( X \)的不确定性。离散平稳无记忆信源的联合熵、平均符号熵和极限熵是理解和设计信源编码的关键。 扩展信源，即离散平稳无记忆信源，其特点是符号之间的出现相互独立。对于二维离散平稳信源，联合熵\( H(X_1, X_2) \)和平均符号熵\( H(X_1), H(X_2) \)描述了两个符号的不确定性和单个符号的不确定性。极限熵则是当信源符号无限增多时，平均每符号的信息量。 马尔科夫信源是一种具有记忆性的信源，它的状态依赖于前几个状态。一阶和二阶马尔科夫信源是常见的类型，其极限熵可以通过状态转移概率矩阵计算得到。状态转移图是描述马尔科夫信源行为的有效工具。例如，对于二元二阶马尔科夫信源，可以通过计算不同状态之间的概率分布来确定其极限熵。 遍历定理在马尔科夫信源中扮演着重要角色，它保证在长时间内，马尔科夫链的状态分布会接近其平稳分布，从而使得极限熵成为长期信息率的合理估计。 这个资料深入讲解了信息论的基础概念，如信息、熵和马尔科夫信源，这些都是理解信源编码理论和实际编码设计的基础。通过对这些概念的理解和应用，可以优化数据压缩，提高通信效率。