高等数值分析作业解析：Galerkin方法与收敛性证明

"高等数值分析第三章作业参考答案" 在高等数值分析中，解决线性方程组Ax=b的问题是核心内容，特别是在A是对称正定矩阵的情况下。这确保了问题有唯一实数解且存在良好的数值特性。本作业讨论了两种不同的Galerkin方法来求解这类方程组。 首先，第一题涉及的是Galerkin原理的应用。在Galerkin方法中，寻找解的过程是通过找到一个适当的子空间K=L=Span(v)，使得解在这个子空间内。对于给定的固定向量v，误差表示为e1=x∗−x1，其中x∗是精确解，x1是近似解。题目要求证明(e1,Ae1)=(e0,Ae0)−(r,v)2/(Av,v)，其中r=b−Ax0是残差，v是待定向量。证明过程通过引入变量α和x1=x0+αv，利用Galerkin原理(r1,v)=0，推导出最优的v应满足(e0,Ae0)−α(r,v)条件，即当v=e0时，误差在A范数下的平方最小，算法一步收敛。然而，在实际中，这个最优v往往难以精确获取。 第二题进一步探讨了使用上一步的残余向量r来构建子空间K=L=Span(r,Ar)的情况。题目分为三个部分： (a) 在K中，用r和一个满足(r,Ap)=0的向量p构造基。通过解线性方程组，我们找到p=r+αAr，其中α满足(Ar,p)=0，解得α=−(Ar,r)/(Ar,Ar)。 (b) 针对这个基，计算从x0到x1的迭代公式。假设x1=x0+β1r+β2p，利用Galerkin原理消除(r1,r)和(r1,p)，解出β1和β2，分别为β1=(r,r)/(Ar,r)和β2=(r,p)/(Ap,p)。 (c) 最后，讨论该算法的收敛性。通过描述算法流程，可以看出这是一种经过CG迭代一步后重启的方法。因为CG迭代在对称正定矩阵下是收敛的，所以这个算法也是收敛的，尽管可能不是全局收敛的，但随着迭代次数增加，解的质量会逐渐提升。 高等数值分析中的Galerkin方法提供了解决对称正定线性方程组的有效途径。通过选择合适的子空间和迭代策略，可以逐步逼近真实解，并确保算法的收敛性。理解并掌握这些方法对于处理大规模数值问题至关重要。