高等教育出版社离散数学题集：集合论与二元关系详解

离散数学是一门基础而重要的数学分支，集合理论是其核心内容之一。高等教育出版社出版的这套题集对于学习和复习离散数学中的集合论部分尤其有帮助，适合学生在自我测试和巩固知识时使用。下面将详细解析部分题目及其涉及的知识点。 1. 选择题考察了集合的基本概念： - 第一题考查集合的元素与集合的关系，集合{a，{a}}代表两个不同的元素，其中{a}也是一个集合，因此选项A是正确的。 - 第二题关于集合的相等和包含关系，集合B中的元素{2}和2是不同的表示方式，因此{2}不等于B，选项B错误。 2. 集合的运算和性质： - 第三题涉及到集合的运算与包含关系，集合B={1，2}包含于集合A，但不是集合A的子集，因为A还包含元素{1，2}，选项C正确。 - 第四题讨论集合的幂集，集合A的幂集P(A)包括所有集合A的子集，选项D是最全的集合表示。 3. 关系论： - 第五题中，二元关系R定义为元素之和为8的有序对，这种关系是传递的，因为如果a与b相关，b与c相关，则a与c也一定相关，但不是自反的，因为没有(a,a)，所以选C。 - 第六题的关系R定义为自反和反对称的，即每个元素都与自身相关，但没有(a,b)和(b,a)同时成立的情况，所以是反对称的，选D。 4. 关系的闭包和等价关系： - 第七题中，集合S是对R的对称闭包，因为S包含了R的所有元素以及它们的对称关系。 - 第八题表明一个等价关系必须具有自反性（每个元素与自身相关）、对称性（如果a与b相关，则b与a也相关）和传递性（如果a与b相关，且b与c相关，则a与c相关），这是等价关系的定义，选A。 5. 偏序关系与等价关系的区别： - 第九题中的关系只包含自反元素对，没有逆向关系，因此它是一个等价关系而非偏序关系，因为偏序关系允许部分逆向关系存在，选A。 - 最后一道题考察偏序关系的哈斯图，下界是指小于或等于该元素的所有元素，最大下界是最小的这样的下界。在给定的哈斯图中，元素3没有小于它的元素，所以它是3在集合B中的最大下界。 通过这些题目，学习者可以深化理解集合的表示、运算、关系的性质以及偏序和等价关系的区别，有助于提升离散数学的理论素养和实践能力。