现代控制理论：状态空间法与复杂系统动态方程构建

西工大现代控制理论讲义中的第二章第二节着重探讨了经典控制理论传递函数描述方法的局限性。传递函数通常用于描述单输入单输出系统，它忽略了初始条件的影响，仅提供系统输入与输出之间的静态关系，不能全面反映系统的动态行为或内部结构。这种描述方式对于复杂的时变、非线性和多输入多输出系统（MIMO）是不适用的。 为了解决这些问题，课程引入了状态空间分析法。这种方法通过将系统状态变量和它们之间的关系组织成一个数学模型，能够更精确地刻画系统的动态过程。状态空间分析法的核心是线性定常连续系统动态方程的建立。线性定常系统的动态方程可以用以下形式表示： \[ \dot{x} = Ax + Bu, \quad y = Cx + Du \] 其中，\( x \) 是系统的状态向量，\( A \) 是系统矩阵，\( B \) 是输入矩阵，\( C \) 是输出矩阵，\( D \) 是输出增益矩阵，\( u \) 是输入向量，\( y \) 是输出向量。这种表达方式包含了系统的全部动态信息，并且允许我们利用系统的内部结构优化控制策略。 在建立物理系统的动态方程时，关键步骤包括根据物理定律列出微分方程，以及选择合适的状态变量。例如，例2-1中的机械位移系统，通过牛顿运动定律，我们可以得出关于质量块位移\( x \)、速度\( v \)和加速度的二阶微分方程。选取位移和速度作为状态变量，我们可以将其转换为状态空间形式，便于进一步分析和设计控制算法。 矩阵形式的动态方程有助于简化计算和理解系统的整体行为，尤其是对于多输入多输出系统，状态空间描述提供了处理复杂交互和反馈机制的有力工具。通过对比传递函数和状态空间方法，学生可以更好地理解如何处理现代控制系统中的复杂性和不确定性，从而提升控制系统的性能和鲁棒性。