考研概率论多维随机变量分布习题解析

在本篇关于概率论与数理统计的练习题集中，主要聚焦于多维随机变量及其分布的理解和应用。以下是针对选择题和填空题的详细解析： 1. 选择题： - 第1题考查二维随机变量的独立性。根据题目中的概率分布矩阵，如果随机变量X与Y相互独立，那么事件{X=0}与{X+Y=1}的联合概率等于各自概率的乘积，即a * b = P(X=0) * P(Y=0|X=0)。选项(A)、(B)、(D)都不符合独立性的条件，因为它们给出了不同的a和b值，只有当a=0.4, b=0.1时，满足独立性，因此正确答案是(B)。 2. 第2题涉及随机变量的联合分布函数。若X和Y独立同分布，其联合分布函数等于各自分布函数的乘积，即F_Z(z) = F_X(x) * F_Y(y)。选项(C)正确表达了这一关系。 3. 第3题考察独立随机变量的联合分布函数特性。标准正态分布的随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)有间断点，当Z恰好落在X和Y的分界点处。由于Z的取值范围是连续的，所以F_Z(z)最多有一个间断点，答案是(B)。 4. 第4题测试正态分布的性质。当X和Y独立且分别服从标准正态分布时，他们的和或差的分布仍然是正态分布，但均值不同。对于加法，均值为0+1=1，而对于差值，均值为0-1=-1，因此排除(A)和(D)，而选项(B)表示的是X+Y≤1的概率，符合正态分布的性质，答案是(B)。 5. 第5题涉及指数分布的乘积概率。如果X和Y分别服从参数为1和4的指数分布，它们的乘积的期望值为1 * 4 = 4，对应选项(C)。 6. 填空题： - 第1题要求计算联合概率密度函数的积分。根据题目提供的密度函数，当X+Y≤1时，概率密度f_{XY}(x,y)不为0，此时求积可得P(X+Y≤1)。 - 第2题涉及到两个均匀分布随机变量的最大值的概率。因为X和Y独立且在[0,3]上均匀分布，所以P(max(X,Y)≤1)就是求面积在X轴下方、Y轴右侧且顶点在(1,1)的矩形区域的面积。 - 第3题，给定X的分布律，Z=max(X,Y)的分布律可以通过X和Y的分布律推导，因为Z的值只能取X和Y中的最大值，所以分布律是X的分布律的修改版。 - 第4题，根据给出的PX和PY的概率质量函数，判断两个随机变量的关系和性质。 这些题目旨在帮助考生理解多维随机变量的联合分布、独立性、常见分布函数的性质以及概率计算方法，是考研概率论复习中的重要练习部分。通过解答这些问题，学生可以巩固理论知识并提升解决实际问题的能力。