分布函数法：连续型随机变量的概率密度与应用

在概率论与随机过程的第二章中，主要探讨了随机变量及其分布函数的概念。随机变量是随机试验结果的数量表示，它反映了试验结果与实数之间的客观联系或数值化表示。随机变量根据其取值的特性可以分为两类：离散型和连续型。 1. 分布函数法：这是一种处理随机变量的重要工具，特别适用于那些其概率分布不易直接写出或计算的情况。如果随机变量Y=f(X)，其中f(x)是严格单调函数，并且其反函数有连续导数，那么可以通过公式法来求解其分布。这种方法允许我们通过原函数的性质推导出随机变量的分布。 2. 连续型随机变量：当随机变量Y=f(X)在不重叠的区间I1, I2, ...上逐段严格单调，且其反函数g1(y), g2(y), ...连续且可导时，Y被称为连续型随机变量。这时，其概率分布不再表现为离散的分布律，而是由概率密度函数p_Y(y)描述，该函数给出了在任意区间内随机变量取值的概率密度，即对于任意x，P(Y≤x) = ∫_{-\infty}^{x} p_Y(y) dy。 2.1.1 随机变量的引入和定义： - 掷骰子试验的例子展示了如何通过定义随机变量Z来量化试验结果，比如Z=掷骰子得到的点数，每个可能的点数对应一个概率。 - 在区间[0,1]上任取一点的试验中，随机变量X表示取到的坐标，其取值取决于试验结果，例如P{X≤x}表示坐标小于或等于x的概率。 3. 随机变量函数的分布： - 对于随机变量X和函数h，其复合随机变量h(X)的分布可以通过分布函数法来研究，即求解出h(X)的分布函数F_{h(X)}(t)。 4. 应用领域： - 随机过程论在多个领域有广泛应用，包括天气预报、统计物理、经济数学、人工智能等，通过建立随机过程模型来理解和预测不确定性现象。 第二章的重点在于介绍随机变量的基本概念和处理方法，以及如何通过分布函数来分析和计算它们的概率性质，这对于理解和应用概率论至关重要。