大一高数期末冲刺：极限与无穷小解题攻略

"大一上高数期末复习资料，包括各种题型，旨在帮助学生高效复习，通过几个小时的学习，掌握高数关键知识点，避免挂科。这份资料由李天意编写和主讲，时间标注为2021年12月。" 高数，全称高等数学，是大学理工科专业基础课程之一，对学生的逻辑思维和分析能力有着较高要求。本资料主要涵盖极限部分，这是高等数学的基础，也是后续学习微积分、线性代数等课程的重要基石。 1. 极限概念： 极限描述了函数在某一点附近的行为，表示当自变量趋近于某一值时，函数值趋于稳定的状态。祖冲之的名言“迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。”体现了极限的本质，它不是静态的数值，而是一个动态过程。例如，"一尺之棰，日取其半，万世不竭"，形象地描绘了极限的连续性和无限逼近的特性。 2. 求解函数极限： 求解函数极限分为三个步骤：首先尝试直接代入；其次，根据极限表达式的特点判断其类型，如直代型、有理型、无理型、根式型、指数型、对数型等；最后，选择合适的求解策略，如直接计算、化简、使用等价无穷小代换或洛必达法则。 3. 无穷小与无穷大： 在极限中，无穷小是指趋于零的量，而无穷大则表示数值无限增长。无穷小与无穷大之间存在倒数关系，无穷小乘以有界函数仍为无穷小。在处理极限问题时，我们需要识别并处理这些无穷小和无穷大的成分。 4. 无穷小相关的极限问题： 针对无穷小相关的极限，我们可以采取化简、等价无穷小代换或洛必达法则。例如，通过消除导致极限为零的因子，用等价无穷小替换复杂的表达式，或者在特定条件下应用洛必达法则来简化计算。在进行等价无穷小代换时，必须注意无穷小的性质，确保替换的正确性，并避免错误地将一个无穷小的部分进行单独代换。 5. 洛必达法则： 洛必达法则适用于处理0/0或∞/∞类型的不定式极限，但必须满足一定条件，即分子和分母都趋向于零或无穷大。应用洛必达法则时，先分别求分子和分母的导数，然后再次求极限。这通常是解决复杂极限问题的有效工具。 本复习资料通过实例和方法总结，帮助学生系统复习和掌握高等数学中的极限概念及求解技巧，为应对期末考试提供了全面的指导。通过深入学习，学生可以逐步提升自己的分析能力和解决问题的能力，从而在高数学习中取得好成绩。