CORDIC算法详解：移位与运算实现坐标旋转与特殊函数计算

CORDIC算法，全称为Coordinate Rotation Digital Computer，是一种用于数字信号处理器（DSP）中的高效算法，用于在有限位精度下近似计算三角函数值，如正弦、余弦、双曲正弦（sinh）和双曲余弦（cosh）。这种算法特别适合于需要频繁进行角度变换或者计算小角度变化的应用场景，因为它的计算过程主要依赖于位移和加减运算，而非复杂的乘法和除法。 在CORDIC算法中，以正弦和余弦的计算为例，我们利用和角公式进行递归：对于角度a和b，有cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)，以及sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)。算法的关键在于选择特定的角度增量a，比如a = arctan(2^-k)，这样可以简化计算过程，使得cos(b) – tan(a)sin(b)（或cosh(b) + tanh(a)sinh(b)）可以通过简单的移位和减法操作来实现。 角度z如果可以表示为z = s0arctan(2^0) + s1arctan(2^-1) + ... + snarctan(2^-n)，其中s0, s1, ..., sn是二进制的正负符号，表示顺时针或逆时针旋转的角度。通过这样的形式，我们可以将z分解成一系列小的旋转，然后逐个应用CORDIC算法进行计算。值得注意的是，由于CORDIC对于cos(skarctan(2^-k))的结果不依赖于转角的方向，因此计算过程更为简洁。 双曲函数的计算采用类似的思路，利用cosh(a+b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b)和sinh(a+b) = sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b)的公式，将a替换为arctanh(2^-k)，tanh(a)的值代替了原式中的tan(a)。这样，通过一系列的移位和加减操作，可以快速计算出sinh/cosh值。 在实际应用中，为了确保计算的有效性和数值稳定性，z必须限制在[-ln2, ln2]的范围内。对于超出这个范围的参数，需要先进行预处理，例如z = z' - pln2，然后计算cosh(z') / sinh(z')，最后利用CORDIC的结果和cosh(pln2)、sinh(pln2)来得出最终的cosh(z)和sinh(z)。 CORDIC算法因其高效性和低硬件开销，在信号处理、滤波器设计、数字信号合成等领域得到了广泛应用，尤其对于那些对计算速度敏感且精度要求较高的设备来说，是不可或缺的计算工具。