计算几何基础:向量、精度与线段相交问题
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更新于2024-08-19
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本资源主要讲解了ACM(算法竞赛)中的计算几何基础知识,重点围绕数据结构、精度处理、向量运算及其几何意义、向量幅角计算、外积的应用以及解决特定问题的实例。以下是主要内容的详细解析:
1. 基本数据结构:
计算几何中,使用`structpoint_t`数据结构来表示点,包含整数x和y坐标,同时也被设计为向量的结构,方便处理几何操作。在实际编程中,需要注意输入整点时的数据类型处理,以防止精度损失。
2. 重要细节:
- 精度问题:涉及到浮点数的精度判断,通过定义常量`EPS`(如1E-6)来判断两个数值是否接近于零。正确选择`EPS`值对算法性能至关重要。
- 使用`double`类型进行计算,减少误差,并尽量避免除法、开方、三角函数等可能导致精度问题的操作。
3. 向量运算:
- 向量的基本操作包括加法、减法和乘法。其中点积计算公式为`(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2`,而叉积在二维中实际上是实数,表示两个向量构成的平行四边形的面积。
4. 内外积的几何意义:
- 内积为负,表示两向量夹角为钝角;外积为负,指示向量间的夹角方向为顺时针,且外积可以用来计算向量之间的平行四边形面积。
5. 向量幅角计算:
- 避免直接计算角度,通过比较向量的象限和外积来确定幅角大小,使用`atan2`函数处理,其值域限定在`(-pi, pi]`。
6. 外积的应用:
- 外积广泛用于解决几何问题,例如判断三点的拐向、计算三角形和凸多边形的面积、以及点与几何形状的关系判断,如点在直线或线段上的位置等。
7. 相交问题:
- 判断线段相交的两种方法:排斥实验和跨立实验。具体题目如POJ中的1066、1127和1410等是这类问题的经典练习。
8. 直线数据结构:
- 使用`structline_t`表示直线,参数`a`, `b`, `c`分别对应直线方程`ax + by + c = 0`。在实际应用中,考虑将直线参数归一化以简化处理。
总结,这部分内容涵盖了计算几何在ACM竞赛中的一些核心概念和技术,包括数据结构设计、精度控制、向量运算及其几何含义,以及实际问题的解决方案,对于参赛者理解和解决几何类算法问题具有重要指导价值。
2022-09-24 上传
2009-10-16 上传
2011-09-16 上传
2024-09-11 上传
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