阿达玛排列下的离散沃尔什函数：非正弦与列率分析

本文主要探讨的是按阿达玛排列的离散沃尔什函数，这是一种特殊的正交函数，特别是在信号处理和数字信号分析领域中广泛应用。沃尔什函数是沃尔什变换的基础，它是一种离散化的正弦函数，与正弦波不同，它在单位时间内经历的周期数不是均匀的，而是通过列率这一概念来描述广义频率，反映了非正弦函数的特性。 沃尔什函数系列包括沃尔什函数、雷德麦彻函数和哈尔函数，它们都属于非正弦正交函数，这些函数在进行离散信号分析时，如频域分析，能提供高效且精确的变换方法。与著名的快速傅立叶变换(FFT)类似，沃尔什变换利用加、减运算代替乘法，从而降低了计算复杂度，使得在实际应用中能够快速处理数据。 频率和广义频率是衡量信号变化的重要参数。对于连续时间函数，频率描述的是单位时间内经历完整周期的次数，而广义频率则是考虑函数在考察区间内过零点的平均密度。对于离散时间函数，列率则指符号平均变化的次数，这对于非周期性或非均匀分布的函数特别有用。 文章中提到的雷德麦彻函数是在1922年由雷德麦彻提出的一种非完备正交函数系列。它是在归一化半开区间[0,1)上的一种特殊函数，具有2^m-1个周期性，并通过递归关系在时间轴上逐渐缩小。它的定义依赖于一个标号m，可以通过一系列递归公式给出具体形式。 按阿达玛排列的离散沃尔什函数及其变换是信号处理中的核心工具，其独特性质使其在频域分析、数据压缩、图像编码等领域发挥着重要作用。理解并掌握这些函数的性质和变换方法，对于从事相关领域的专业人士来说至关重要。