刘渊探讨同构量下的广泛四则运算与微积分体系

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"《论广泛四则运算和同构微积分》是由刘渊撰写的首发论文，探讨了一个新颖的数学理论框架。文章的核心是建立在同构量基础上的广泛四则运算，这是一种将原四则运算的定义扩展到不同数集并通过同构映射保持运算性质的运算体系。这种运算体系不仅保留了代数系统的同构特性，而且能够解释物理世界中类似数量处理的现象，比如合成、去除、倍乘和分解，同时将传统四则运算视为特殊案例。作者首先定义了同构量，强调在量化研究中，由于观察角度、推导方法、地域习惯差异或为了方便性，可能会对同一性质赋予不同的量度标准，形成不同的参量。这些参量通过同构映射保持了一一对应关系。同构量是指在映射g的作用下，集合X中的元素x0与其在U上的对应值u0之间的关系，u0被称为x0的同构量，而映射g则是定义这种关系的关键。接着，文章将广泛四则运算与传统的微积分方法相结合，提出了第一类同构微积分体系。这个新体系不仅仅是对微积分运算的一种扩展，而且在物理现象的数学描述上提供了新的视角。同构微积分不仅与广泛四则运算相联系，还与文[1]中涉及的广泛数轴、平面双同构直角坐标系、双变量同构凸函数以及同构凸集等概念有所关联，共同构成了一个更广泛的“n维n同构”问题系统。本文的重要贡献在于提供了一种通用的数学工具，使得不同量纲和单位下的物理量可以进行有效的运算和分析，这对于科学研究和工程应用具有潜在的深远影响。通过理解和掌握广泛四则运算和同构微积分，科学家们能更好地处理复杂问题，并可能发现新的理论洞察和实际应用策略。"

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- 7 -

的减法，于是由单向封闭减法的定义 8 可知，必有 g(x

)-g(x

)∈M(尤其当 g(x

)=g(x

)时，0

∈M)。此时再对照广泛减法的一般性定义 6 可知， g

-1

[g(x

)-g(x

)]∈D 是一个在 D 上被称

为“x

与 x

关于映射 g 的广泛减法”的不满足交换律的二元运算-

，并且是对于 D 内

任意 x

≥x

，都有  x

- x



∈D，再对照单向封闭的二元运算定义 9 可知，此时 D 上有在

“≥”不等方向上封闭的广泛减法-

；反之，若 M 上有在“≥”不等方向上封闭的减

法，则 D 上有在“≤”不等方向上封闭的广泛减法-

；同理若 M 上有在“<”(或“>”)

不等方向上封闭的减法时，则 D 上有在“>” (或“<”)不等方向上封闭的广泛减法-

；

总之，当 g 为严格单调减的函数时，D 上有在反向不等方向上封闭的广泛减法-

, 于是

（ii）得证。类似也可证明（i）的情况。

例如，D=(0, +∞)，M=(-∞, 0)，g(x)=-1/x，在 D 上严格增。M 上有在“<”不等方向上

封闭的减法，则 D 上有“<”不等方向上封闭的广泛减法-

-1/

。

定理中的“至少有”表示不排除该集合上有其它不等方向上的（广泛）减法或封闭的（广

泛）减法。例如[-2, +∞)上至少有在“≥”不等方向上封闭的减法，但是不排除有(-2)-(-1)= -1；

集合{2n：n 为整数}上至少有在“≥”不等方向上封闭的减法，但不排除也有在“≤”不等

方向上（封闭）的减法。

2.2.3 有多个减数的广泛减法

对于有多个加数的广泛和a+b+…+y+z

g(x)

=S，将加数任意分成两组，如：a，…，y

和 b，…，z 可得a+…+y

g(x)

-1

[g(S)-g(b)-…-g(z)]。则a+…+y

g(x)

称为 S 与 b、…、z

关于 g(x)的广泛差。记为a+…+y

g(x)

=  S-b-…-z 

g(x)

。如对于有 3 个加数的广泛和，

 a+b+c 

g(x)

=S, 则 a= S-b-c 

g(x)

, a 是 S 与 b、c 关于 g(x)的广泛差；另外也有b+c

g(x)

 S-a 

g(x)

，即b+c

g(x)

是 S 与 a 关于 g(x)的广泛差。而上述求广泛差的运算便是有一

个或多个减数的广泛减法。

显然，广泛差可用以表示同类因素的同类总效应在排除某一个或多个因素的作用后剩下

的因素合成的同类总效应，和广泛和的意义相逆。

 S-b 

g(x)

=a 读作：S 关于 g(x)广泛减去 b 等于 a。  S-a-b 

g(x)

=c 读作：S 关于 g(x)

广泛减去 a、b 等于 c，其中 a，b 称为广泛减法的减数，S 称为被减数。

2.2.4 广泛减法运算律和性质

2.2.4.1 减数交换律

对于有多个减数的广泛减法，任意交换减数的位置，广泛差不变。

 S-a-b-c 

g(x)

= S-c-b-a 

g(x)

(11)

2.2.4.2 减数结合律

对于有多个减数的广泛减法，任意一部分减数可先结合求得广泛和，再以该广泛和作为

减数（之一）参与原广泛减法，所得的广泛差不变。

 S-a-b-c 

g(x)

= S-a- b+c 

g(x)



g(x)

= S- a+b+c 

g(x)



g(x)

(12)

2.2.4.3 减数同一律

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