分数阶定积分学：定义、性质与基本定理

"分数阶定积分学 - 杨小军，高峰，钟卫平，徐丛丛 - 中国矿业大学理学院" 分数阶定积分学是数学的一个分支，它扩展了传统整数阶积分的概念，涉及到分数阶次的微分和积分问题。在描述具有分数维性质的系统或现象时，这一理论显得尤为关键。分数阶定积分是积分变量在特定区间内的分数阶积分的数值表现，它是分数积分学中的一个重要概念。 本文由杨小军、高峰、钟卫平和徐丛丛撰写，主要探讨分数阶定积分的定义、性质以及基本定理。分数微积分学分为分数微分学和积分学，其中分数积分学又细分为分数不定积分学和分数定积分学。分数阶不定积分学的研究已经相对成熟，而分数阶定积分学则更侧重于在特定区间内的积分值。 作者们首先介绍了Riemann-Liouville分数阶定积分的定义。这一定义基于Riemann-Liouville分数阶积分，将积分区间从任意区间转换为固定区间[a, b]。对于一个可积函数f(x)，其Riemann-Liouville分数阶定积分表示为： \[ J^{\alpha}_{a} f(b) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{a}^{b} (b-t)^{\alpha-1} f(t) dt \] 其中，\( \alpha \) 是分数阶数，\( \Gamma \) 表示Gamma函数，\( a \) 和 \( b \) 是积分的上下限。 接着，文章讨论了该积分的性质，包括边界条件。当 \( \alpha > 0 \) 时，如果 \( a = b \)，分数阶定积分的结果为0；如果 \( a < b \)，积分的两个端点值之差的积分等于负的另一个端点的积分。 此外，文章还涉及了分数阶微积分基本定理，这是分数阶定积分的核心理论，它连接了分数阶微分和积分。基本定理表明，如果函数f在[a, b]上有连续的分数阶导数，并且满足某些边界条件，那么积分与导数之间存在等价关系。这为分数阶微积分的计算提供了基础。 分数阶定积分学在分数维空间的数值计算中有很重要的应用，特别是在处理非整数维度的物理问题时，如分数阶扩散方程、分数阶动力学系统等。通过深入研究分数阶定积分的性质和定理，可以更好地理解和解决这些复杂系统的行为。 关键词：分数阶定积分，性质，基本定理，中值定理。