矩阵广义逆理论与线性系统研究

"矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究" 这篇博士学位论文详细探讨了矩阵广义逆的概念、性质、计算方法及其在解决各类线性系统中的应用。矩阵广义逆是线性代数中的一个重要概念，它扩展了逆矩阵的定义，对于非方阵或奇异矩阵也有适用性。在20世纪20年代以来，这个领域的研究逐渐深入，现在已经成为数学和工程计算的重要工具。 论文的第一部分集中在广义逆的表示、计算和代数扰动。在第二章，作者盛兴平介绍了多种计算广义逆的方法，包括基于高斯消元法的新表示，以及广义逆的满秩分解表示，这有助于理解和计算广义逆。此外，他还讨论了加权共轭梯度法在迭代计算中的应用，以及分块矩阵的M-P逆、群逆和Drazin逆的表达式，这些对于处理大型矩阵问题特别有用。 第三章则关注广义逆的代数扰动和修正理论。通过对矩形矩阵值域和零空间的深入研究，论文提供了广义逆在受到扰动时的表达式，简化了现有的理论。此外，还研究了加权群逆的分析扰动和代数扰动，以及a-p广义逆的代数扰动性质，同时利用M-P逆的秩一修正理论，推导出Bott-Duffin逆和广义Bott-Duffin逆的修正结果。 论文的第二部分聚焦于几类线性系统的求解。第四章中，作者探讨了矩阵方程的求解策略，包括构造有限迭代公式来解决AXB=CXD类型的矩阵方程对，并利用广义逆的投影方法来处理AX=B和XD=E的线性系统，这种方法揭示了解的结构，避免了传统矩阵分解的复杂性。最后，他还提出了解矩阵方程AXB+CXD=E的多项式方法，这为解决这类问题提供了新的途径。 这篇论文不仅深化了对矩阵广义逆理论的理解，还为实际线性系统的求解提供了新的计算技术和理论依据，对于计算数学和相关应用领域具有重要的学术价值和实践意义。