构造方法下非线性微分方程系统概周期解的唯一性

本文主要探讨了非线性微分方程系统的概周期解的存在唯一性问题，通过应用构造Jitomirskaya函数的方法，这一技术在数学分析中被广泛用于研究周期性问题。作者冯春华针对系统i = f(t, x)，其中f(t, x)是对t关于x一致概周期的函数，且定义在实数域R×R到R的空间中，提出了一个新的研究框架。 在文章开头，作者引用了一个假设，即在系统存在一个有界解的前提下，可以利用Jitomirskaya函数来研究概周期解的存在和唯一性。然而，确定非线性系统是否存在有界解是一个具有挑战性的任务，因为这本身并非易事，且缺乏通用方法。为了克服这个难题，本文并未局限于这个限制，而是直接使用Jitomirskaya函数的构造技巧，来探讨概周期解的性质。 文章的核心定理1表明，如果存在一个定义在开集D上的Jitomirskaya函数V(t, x, y)，满足三个关键条件：第一，函数V关于差分（\x - y\)的平方有界限，且由连续、递增且正定的函数a(r)和b(r)控制；第二，V函数具有某种形式的不等式关系，确保随解的差异增加而增长；第三，V函数对模周期解的稳定性有控制作用，即当模周期随时间变化时，V的值保持在一个常数范围内。 定理1的证明策略是先假设系统存在一个解，并通过反证法来推导出这个解是有界的。如果存在一个解使得其在所有时间t下都未超出某个有限范围，那么整个解集合将是有界的。这个论证过程展示了Jitomirskaya函数在证明概周期解的存在和唯一性方面的有效性。 这篇文章在非线性微分方程系统概周期解的研究中取得了进展，为理解和控制这类系统的周期行为提供了一种新的工具和理论基础，特别是对于那些难以证明有界解存在的系统。这不仅扩展了我们对非线性动力系统行为的理解，也为未来相关领域的研究提供了有价值的方法和技术支持。