MxN阶线性方程组的高斯消元解法

"MxN阶高斯消元法用于解线性方程的C++实现" 高斯消元法是一种解决线性方程组的数值方法，它通过一系列行变换将系数矩阵转化为阶梯形矩阵，进而求得解。在这个程序中，"MxN Gauss elimination"指的是可以处理M行N列的线性方程组的高斯消元算法。M表示方程的个数，N表示未知数的数量，通常M>N。这个C++类`gauss`实现了高斯消元法的主要步骤。 1. **输入**: `gauss_input()`函数负责获取用户输入的线性方程组的系数和常数项。它首先要求用户输入M和N的值，然后分配动态内存来存储矩阵`a`（系数）和向量`x`（解）。初始化时，`x`的所有元素被设为0。接着，用户逐行输入系数矩阵的元素以及常数项（方程右侧的值）。 2. **消元过程**: `gauss_elimination()`函数执行高斯消元。它通过一个外层循环（变量k）遍历每一列，目的是将当前列的首非零元素（主元）置为1，并消除该列下方所有元素。在内层循环（变量i）中，程序会找到主元所在行以下的最大元素，通过行交换确保主元所在行是最优的。然后，通过适当的行倍乘和行加减操作来消除主元下方的元素。 3. **输出**: `gauss_output()`函数负责展示计算出的解。在高斯消元过程中，解向量`x`已经被更新，包含了线性方程组的解。程序会输出这些解供用户验证。 4. **内存管理**: 类`gauss`的析构函数`~gauss()`确保了在对象生命周期结束时，动态分配的内存被正确释放，避免了内存泄漏。 5. **主函数`: `main()`是程序的入口点，它创建了一个`gauss`对象`solution`，调用其成员函数执行输入、消元和输出操作。 6. **数据结构**: `a`是一个二维数组，代表系数矩阵；`x`也是一个二维数组，但最后一列用于存放常数项，其余列在消元过程中逐渐得到解的值。变量`i`, `j`, `m`, `n`, `k`, `r`, `d`, `f`, `g`, `h`等是用于循环控制和计算的临时变量。 7. **浮点数比较**: 使用`fabs()`函数比较浮点数时，要注意由于浮点数的精度问题，不能直接比较两个浮点数是否相等，而是比较它们的差值是否在一个极小的阈值范围内。 这个程序虽然简单，但它展示了如何用C++实现高斯消元法，对于理解和教学数值计算方法是有帮助的。然而，实际应用中可能需要考虑更复杂的情况，如矩阵的稳定性、条件数分析以及部分 pivoting 等策略来提高算法的鲁棒性。