xviii CONTENTS
10.2.1 Variational distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
10.2.2 Variational lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
10.2.3 Predictive density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
10.2.4 Determining the number of components . . . . . . . . . . . 483
10.2.5 Induced factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
10.3 Variational Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
10.3.1 Variational distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
10.3.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
10.3.3 Lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
10.4 Exponential Family Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
10.4.1 Variational message passing . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
10.5 Local Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
10.6 Variational Logistic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
10.6.1 Variational posterior distribution . . . . . . . . . . . . . . . 498
10.6.2 Optimizing the variational parameters . . . . . . . . . . . . 500
10.6.3 Inference of hyperparameters . . . . . . . . . . . . . . . . 502
10.7 Expectation Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
10.7.1 Example: The clutter problem . . . . . . . . . . . . . . . . 511
10.7.2 Expectation propagation on graphs . . . . . . . . . . . . . . 513
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
11 Sampling Methods 523
11.1 Basic Sampling Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
11.1.1 Standard distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
11.1.2 Rejection sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
11.1.3 Adaptive rejection sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
11.1.4 Importance sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
11.1.5 Sampling-importance-resampling . . . . . . . . . . . . . . 534
11.1.6 Sampling and the EM algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 536
11.2 Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
11.2.1 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
11.2.2 The Metropolis-Hastings algorithm . . . . . . . . . . . . . 541
11.3 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
11.4 Slice Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
11.5 The Hybrid Monte Carlo Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
11.5.1 Dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
11.5.2 Hybrid Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
11.6 Estimating the Partition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
12 Continuous Latent Variables 559
12.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
12.1.1 Maximum variance formulation . . . . . . . . . . . . . . . 561
12.1.2 Minimum-error formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
12.1.3 Applications of PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
12.1.4 PCA for high-dimensional data . . . . . . . . . . . . . . . 569