概率论习题解析：期望与方差的计算

"复旦大学版概率论答案包含多个概率论相关的题目解答，涉及随机变量的期望(E)、方差(D)的计算，分布律、概率密度函数的应用，以及独立随机变量的期望与方差的性质。" 1. 随机变量的期望与期望的线性性质: 在第一个问题中，计算了随机变量X的期望E(X)，期望的平方E(X^2)，以及线性组合的期望E(2X+3)。期望是随机变量平均值的数学表示，而E(aX+b) = aE(X) + b。 2. 贝努利分布的期望与方差: 第二题中，设次品数为X，X服从二项分布B(n,p)，其中n=100，p=0.1。计算了X的期望E(X)和方差D(X)，在二项分布中，E(X) = np，D(X) = np(1-p)。 3. 已知期望和方差求分布律: 第三题通过已知的E(X)和E(X^2)反推出概率P1，P2，P3。期望和方差可以约束概率分布，结合概率的归一化条件可以解出这些未知数。 4. 随机变量的期望与概率的关系: 第四题中，白球数X的期望E(X)等于n，利用概率乘以相应事件的数量来求取出1个白球的概率。 5. 持续型随机变量的期望与方差: 题目给出了随机变量X的概率密度函数f(x)，计算了E(X)和D(X)。对于连续型随机变量，E(X)是概率密度函数与x的乘积在全实数集上的积分，D(X)是E[(X-E(X))^2]。 6. 相互独立随机变量线性组合的期望: 对于独立的随机变量X，Y，Z，它们的线性组合U和V的期望可以用E(X)，E(Y)，E(Z)直接计算，E(U) = 2E(X) + 3E(Y) + 1，E(V) = E(YZ) - 4E(X)。 7. 相互独立随机变量线性组合的期望与方差: 对于独立的随机变量X，Y，E(3X - 2Y) = 3E(X) - 2E(Y)，D(2X - 3Y) = 4D(X) + 9D(Y)，因为D(aX ± bY) = a^2D(X) ± 2abCov(X,Y) + b^2D(Y)，而独立变量的协方差为零。 8. 共轭随机变量的期望: 题目给出二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，通过归一化条件确定常数k，并计算E(XY)。对于二维随机变量，E(XY)是概率密度与xy的乘积在全实数对上的积分。 9. 独立随机变量乘积的期望: 分别计算X和Y的期望，然后根据独立随机变量乘积的期望公式E(XY) = E(X)E(Y)得到结果。也可以直接通过联合密度计算E(XY)。 10. 不同概率密度函数的随机变量乘积的期望: 对于具有不同概率密度函数的随机变量X和Y，可以通过直接积分或者利用独立随机变量乘积的期望公式来求E(XY)。 以上解答涵盖了概率论中的核心概念，如随机变量的期望、方差、分布律、概率密度函数以及独立随机变量的性质。这些是理解概率论和统计学基础的重要知识点。