自抗扰控制与PID：异常值剔除和平滑处理在二阶系统中的应用

"本文主要探讨了二阶线性系统的控制问题，特别关注了经典PID调节器在处理系统误差和扰动中的应用。同时，提到了数据预处理中的异常值剔除和平滑处理，以及最速离散跟踪微分器在自抗扰控制技术ADRC中的角色。" 在控制系统中，PID（比例-积分-微分）调节器是最常见的一种控制器，它通过结合比例、积分和微分三个控制作用来改善系统性能。在二阶线性系统中，PID控制器通过以下微分方程来调整系统的输出： \[ u(t) = k_p e(t) + k_i \int_{t_0}^{t} e(\tau) d\tau + k_d \frac{de(t)}{dt} \] 这里的\( u(t) \)是控制器输出，\( e(t) \)是误差信号，\( k_p \)、\( k_i \)和\( k_d \)分别是比例、积分和微分系数。传递函数形式为： \[ D(s) = k_p + \frac{k_i}{s} + k_d s \] PID控制器的目标是使系统对扰动和设定值变化有良好的响应。其关键特性包括： 1. 比例作用：\( k_p \)决定了系统的响应速度，增加比例系数可以减小稳态误差，但过大会导致系统不稳定。 2. 积分作用：\( k_i \)用于消除阶跃输入和常值扰动的稳态误差，积分项与误差的积分有关。 3. 微分作用：\( k_d \)有助于减小超调和改善系统响应速度，与误差的微分相关，影响系统的阻尼。 对于二阶线性系统，其微分方程为： \[ \ddot{x} = -a_1 x - a_2 \dot{x} + w + u \] 其中，\( x \)是系统状态，\( \dot{x} \)是其一阶导数，\( w \)是外扰，\( u \)是控制输入。通过将内扰和外扰视为扰动，可以构建一个纯积分串联型系统，并用PID控制器进行补偿。 在数据预处理阶段，异常值剔除和数据平滑处理是必不可少的步骤。异常值可能由测量错误或系统噪声引起，剔除它们可以提高后续分析的准确性。平滑处理则能减少数据中的高频噪声，使信号更接近真实趋势。 最速离散跟踪微分器（ADRC技术的一部分）用于实时估算和补偿系统的总和扰动，增强了系统对扰动的抑制能力。ADRC是一种自适应控制策略，它可以在线调整控制器参数以适应系统的变化，无需事先知道精确的系统模型。 系统稳定性条件为： \[ K > 0, \quad (K+a_1) > 0, \quad (K T_d + a_2) > 0, \quad (K+a_1)(K T_d + a_2) > K T_i \] 这些条件确保了在给定的系统参数\( a_1 \)和\( a_2 \)下，PID控制器可以调整其参数以实现闭环系统的稳定性。 系统性能通常通过以下指标评估： 1. 过渡时间\( T \)：当误差低于设定值的5%时所需的时间。 2. 超调量\( \delta \% \)：系统输出超过设定值的最大值相对于设定值的百分比。 理解并掌握这些概念对于设计和优化控制系统的性能至关重要。