随机过程及其应用：课后习题解析与A车出发时间概率

"这是关于随机过程及其应用的教材习题答案，主要涉及陆大絟编写的经典教材内容。习题涵盖概率论中的随机过程概念，包括二项式分布、概率密度函数以及脉宽调制通信系统的建模。" 在随机过程中，第一章的第1题介绍了一个公共汽车站的问题，其中两辆公交车A和B每秒都有乘客到达。每个乘客以概率1/2选择A车，以同样概率选择B车，这些选择是独立的。题目要求求出在第n秒时A车上乘客数η的概率分布，并且计算A车在达到10名乘客时的出发时间n的分布。 （1）对于第n秒A车上乘客数η，由于每个乘客登车是独立的，且每个乘客登A车的概率为1/2，因此η遵循二项式分布，记为B(n, 1/2)。这意味着η的概率质量函数可以表示为P(η=k) = C(n, k) * (1/2)^k * (1/2)^(n-k)，其中C(n, k)是组合数，表示从n次独立事件中成功k次的方式数。 （2）A车出发时间n的概率分布可以通过计算前9秒内有9名乘客上车的概率，然后乘以第10名乘客在第21秒上车的概率。具体来说，P(n=21) = P(9名乘客在前20秒内上车) * P(第21秒有乘客上车)。前20秒内9名乘客上车的概率是C(20, 9) * (1/2)^9 * (1/2)^11，第21秒有乘客上车的概率是1/2。因此，P(n=21) = C(20, 9) * (1/2)^20。 第二题讨论了一个脉宽调制的通信系统，其中脉冲宽度是随机的，且在每个周期内均匀分布于(0, T)。要求求出随机过程ξ(t)的一维概率密度函数f(x)。 随机过程ξ(t)的每个周期内的脉冲宽度是一个连续随机变量，其概率密度函数是均匀分布，即在区间(0, T)内，其概率密度f(x) = 1/T，对于x∈(0, T)，而f(x) = 0，对于x不在该区间。这意味着在任意时刻t，ξ(t)的值的概率密度也是均匀分布的，因为每个脉冲宽度都是独立的，且具有相同的分布。 总结来说，这些习题涉及到随机过程的基本概念，如二项式分布和均匀分布，以及它们在实际问题中的应用，如公共交通调度和通信系统模型。通过解决这些问题，学生能够深入理解随机过程的理论和计算方法。