微积分基础：函数、极限与无穷小量

"微分定义-工科微积分 课件" 这篇课件主要涵盖了工科微积分的基础知识，特别是关于函数的定义、性质、函数的极限以及微分的初步概念。以下是详细的知识点总结： 1. **函数的定义**： - 函数是一个将一个非空集合X（定义域）中的元素映射到另一个集合Y（值域）的规则，记为f: X → Y，其中每个x ∈ X对应一个唯一的y ∈ Y。 2. **函数的性质**： - **有界性**：函数在定义域内可能存在最大值和最小值，即函数值不会无限大或无限小。 - **单调性**：函数可以是单调递增或单调递减，意味着函数值随自变量的增加而相应增加或减少。 - **奇偶性**：函数可能是奇函数、偶函数或非奇非偶函数，根据函数图像对称性来判断。 - **周期性**：函数可能具有周期性，即存在一个非零实数T使得f(x + T) = f(x)。 3. **复合函数与反函数**： - 复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，理解变量之间的关系有助于解题。 - 反函数是原函数的逆运算，若函数f有反函数，记为f^(-1)，则满足f(f^(-1)(x)) = x且f^(-1)(f(x)) = x。 4. **函数的极限**： - **极限的定义**：当x趋向于某个值A时，函数f(x)趋向于B，记为lim (x→A) f(x) = B，表示函数值无限接近于B。 - **极限的性质**： - 唯一性：如果极限存在，那么它唯一。 - 有界性：函数在极限点附近有界。 - 保号性：如果函数值在某区间内始终非负（或非正），那么其极限也是非负（或非正）。 5. **极限的运算法则**： - **四则运算法则**：极限的加法、减法、乘法和除法规则。 - **复合函数的极限法则**：如果内外函数的极限都存在，那么复合函数的极限也存在，并可以用内外函数的极限直接计算。 6. **无穷小量**： - 当x趋向于某个值时，函数值趋向于0的量称为无穷小量。 - **无穷小量的比较**：等价无穷小量是指趋于0时，它们的比值趋于1的无穷小量。 - **夹逼定理**（也称介值定理或squeeze theorem）：如果三个函数f(x)，g(x)，h(x)满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)对于所有x在某区间内成立，并且lim (x→a) f(x) = lim (x→a) h(x) = L，那么lim (x→a) g(x) = L。 这些知识点构成了微积分的基础，为后续学习微分、积分等内容打下了坚实的基础。在工科微积分的学习中，理解和应用这些概念是至关重要的。