自动化证明：三角函数几何不等式的代数方法与实根分解策略

本文探讨了一类特殊的三角形几何不等式，这些不等式仅包含三角函数。论文针对这一类自动证明问题，提出了一个创新的方法论。首先，作者通过代数技巧对不等式进行了有理化处理，避免了引入额外的根式，从而将原问题转化为一个关于两个变量的二元多项式不等式的证明。这种方法的关键在于保持了问题的原始结构，同时简化了证明过程。 设计的算法核心是基于胞腔分解和实根分离策略，这两种数学工具在处理多项式不等式时发挥着重要作用。胞腔分解是将平面划分为一系列互不相交的区域，每个区域对应于多项式函数的一个特定行为，如正性、负性或零点。实根分离则是确保在证明过程中不会遗漏可能的解，同时排除不可能的解区间，这对于复杂不等式的自动化证明至关重要。 通过这种设计，算法不仅能够有效地解决那些具有较高难度的三角函数几何不等式，而且还特别适用于涉及三角形内角任意有理倍数函数的不等式证明。这种方法的优势在于，它不仅可以提供自动化的证明过程，而且输出的证明结果清晰易懂，既可以人工验证，也能利用数学软件进一步分析和理解。 实验结果表明，该算法在大量实际问题上的表现非常出色，提高了证明效率，尤其是在处理传统手动证明方法可能难以应对的复杂三角函数不等式时。这为计算机辅助几何不等式证明领域开辟了新的可能性，对于推动数学教育和科研中的自动化证明技术发展具有重要意义。 这篇论文提出了一种实用的算法，解决了三角形几何不等式自动证明中的特定挑战，展示了代数方法、胞腔分解和实根分离在数学自动化领域的实际应用价值。这是一项重要的工程和技术成就，也为未来的数学研究提供了新的思考视角。