微分变换法新算法：解决带初值边界条件的偏微分方程系统

本文探讨了一种基于微分变换法（Differential Transformation Method, DTM）的新算法——傅立叶微分变换法（Fourier-Differential Transform Method, FDTM）。这项创新性工作发表在2020年的《纯粹数学进展》(Advances in Pure Mathematics)上，卷10, 第337-349页，电子刊号ISSN Online: 2160-0384, 打印刊号ISSN Print: 2160-0368，DOI: 10.4236/apm.2020.105020。研究者Chenlu Huang, Jiwei Li, 和Fali Lin来自台州大学土木工程与建筑学院。 FDTM的主要目的是解决具有初始边界值问题（Initial Boundary Value Problem, IBVP）的一类线性和非线性偏微分方程。传统的IBVP通常涉及在特定区域内的函数及其导数的边界条件，而FDTM的贡献在于它能够将这些复杂的边界条件转化为K域中的迭代关系。在FDTM中，首先对初始条件应用傅立叶级数展开，这是因为傅立叶级数是一种强大的工具，能够将周期性或有限区间上的函数表示为一组易于处理的正弦或余弦函数的和。通过这种转换，原本复杂的偏微分方程系统被简化为一系列易于求解的算子形式。 作者们利用FDTM来构建求解策略，将原问题映射到K域，这使得问题的求解过程更加高效。通过与已知的分析解进行比较，验证了FDTM算法的有效性和实用性。这种方法不仅提供了数值解，对于某些情况下，如果收敛良好，还可以得到精确解，这对于数值计算而言是一项显著的进步。 这项研究在数值求解偏微分方程领域引入了一种新颖且高效的手段，为处理带有初始和边界条件的问题提供了一个新的解决途径，特别是在工程、物理和数学建模等领域具有潜在的应用价值。此外，FDTM的使用无需依赖于网格划分或者复杂的数值积分，这使得它在处理高维或奇异边界条件时显示出优越性。通过这篇论文，作者们展示了如何将经典傅立叶分析和微分变换技巧相结合，创造出一种适用于实际问题求解的强大工具。