集合论基础：关系与函数在计算机科学中的应用

本文主要介绍了图论学习的预备知识，包括集合、关系、函数和复杂度的概念，重点讲解了集合论的基本概念。 在图论的学习中，了解集合论是至关重要的，因为它是整个数学和计算机科学的基础。集合论提供了一种抽象的方式来描述和组织对象，这对于理解图的节点和边的定义至关重要。例如，一个图可以看作是两个集合（节点集合和边集合）及其之间的关系。 集合是最基本的数学构造，由一组特定的对象组成。集合的元素可以是任何东西，如数字、字母、图形或者更复杂的实体。在例子中，集合可以是26个英文字母、所有自然数，甚至是某个大学的学生或教室的座位。集合中的元素没有特定顺序，且重复元素只被视为一个。 元素与集合的关系通过“属于”（∈）和“不属于”（∉）符号来表示。如果一个元素在集合内，我们说该元素属于集合；反之，则不属于。例如，正偶数集合包含2、4和6，而不包含1、3或奇数。 集合的特性强调了元素的无序性和唯一性。即使元素的排列顺序不同，只要包含的元素相同，两个集合就被认为是相等的。此外，集合的元素可以是其他集合，这种以集合为元素的集合称为集合族或集合类。 集合的大小或元素数量称为元数，对于有限集，可以用基数来表示。无限集的基数可能无法用自然数来衡量，涉及到更高级的数学概念，如阿列夫数。 关系是集合论中的另一个关键概念，特别是对于图论，关系定义了集合中元素之间的相互作用。关系可以是自反的（每个元素都与自身有关），反自反的（没有元素与自身有关），或者既不是自反也不是反自反。例如，给定集合A={1,2,3}，关系R={<1,1>,<2,2>}缺少<3,3>，则R既不是自反的（因为3与自身无关），也不是反自反的（因为没有元素与自身无关）。 函数是集合之间的一种特殊关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合的唯一元素。函数在图论中扮演着重要角色，例如，可以用来描述图的遍历或路径。 最后，复杂度是计算问题难易程度的度量，与算法的时间和空间需求相关。在图论中，理解和分析算法的复杂度对于解决如最短路径、最小生成树等问题至关重要。 学习图论前需掌握集合论的基础知识，包括集合、关系、函数和复杂度的概念，这将有助于理解和应用图的各种性质和操作。