贝叶斯决策与Fisher线性判别：理论与应用实例

本资源是一份关于模式识别与机器学习的练习题文档，涵盖了贝叶斯决策、Fisher线性判别、特征降维、损失函数优化、朴素贝叶斯分类、高次函数映射、多元变量预测、线性回归、正则化、模型选择以及核函数在二次多项式下的应用等内容。 1. **贝叶斯决策**：题目要求基于最小错误率的贝叶斯决策规则对细胞进行分类，首先需要计算正常和异常细胞的后验概率，即在观察到特定值下，根据先验概率和似然概率更新的概率。正常状态和异常状态的后验概率分别为 和 ，然后选择后验概率较大的类别作为预测结果。 2. **Fisher线性判别**：这种方法通过最大化类别间的方差与类内方差比（称为Fisher准则）来找到最优的特征子空间，用于区分不同的类别。准则函数为 ，其解通常涉及特征向量的计算，用于投影原始数据到低维空间。 3. **特征降维**：题目要求将特征空间从二维降维至一维，分别使用K-L变换（可能指的是一种非线性降维方法）和Fisher线性判别方法实现。K-L变换可能涉及到奇异值分解或主成分分析，而Fisher方法则保持了类间距离的最大化。 4. **损失函数与梯度下降**：给定样本集合和损失函数定义，需利用梯度下降法寻找使损失函数最小化的 。这涉及到计算损失函数关于 的梯度，并迭代更新参数，直到达到局部最优。 5. **高次函数映射**：一维二次判别函数通过多项式变换转化为广义齐次线性形式，这展示了通过多项式扩展将非线性函数转换为线性可处理的形式，如多项式回归。 6. **朴素贝叶斯与独立性假设**：对于新的输入，朴素贝叶斯需要参数包括各类别的先验概率和特征条件概率。通过拉普拉斯平滑（添加1到每个计数）估计这些参数。朴素贝叶斯预测基于贝叶斯定理，假设特征之间相互独立。 7. **线性回归与正则化**：给出了线性回归模型和噪声模型，对数似然函数和L2损失函数的等价性可以通过最大似然估计和权重衰减的解释。正则化损失函数包括数据拟合项和正则项，复杂性与参数的正则化系数相关。 8. **模型选择与正则项**：多项式拟合中，选择模型时需考虑训练误差和模型复杂度。L2正则项下，不同图中的正则项系数对应不同模型的复杂度，训练误差最小的模型可能是最简单的，但过度拟合的风险较大。在实际应用中，应平衡训练误差和泛化能力。 9. **核函数与决策边界**：针对二次多项式核函数，决策边界的变化取决于 和 松弛因子。不同松弛因子会影响决策边界的位置和形状。在实际测试中，一般选择既能良好拟合训练数据又能避免过拟合的模型。 综上，这份文档详细地探讨了模式识别中的各种算法和模型选择策略，适合于深入理解机器学习中的核心概念和实践应用。