无约束最优化方法：最小二乘法解析

"该资源主要介绍了无约束最优化方法中的最小二乘法，以及与之相关的其他优化算法，如最速下降法、共轭梯度法等。文章以MATLAB代码示例展示了最速下降法的计算过程，并讨论了其收敛性问题。" 在无约束最优化领域，最小二乘法是一种广泛应用的算法，特别是在数据拟合和参数估计等问题中。该方法通过最小化误差平方和来寻找最佳拟合模型的参数。在给定的描述中，虽然没有直接提供最小二乘法的详细步骤，但我们可以理解它通常涉及以下步骤： 1. **定义问题**：建立一个目标函数，该函数通常表示观测数据与模型预测之间的残差平方和。 2. **梯度计算**：计算目标函数关于参数的梯度，这对应于残差对参数的偏导数。 3. **迭代更新**：使用某种优化算法（如最速下降法、牛顿法等）沿着负梯度方向更新参数，以减少目标函数的值。 4. **停止准则**：设置一个停机条件，如梯度的范数小于某个阈值，或者函数值的变化小于某个阈值。 最速下降法（Steepest Descent Method）是优化问题中最早且最直观的方法之一，它的基本思想是每次迭代沿着目标函数梯度的反方向移动，因为这是当前点下降最快的方向。然而，这种方法的缺点是收敛速度较慢，路径呈现锯齿状，导致在接近最优解时需要很多迭代步骤。 MATLAB代码示例展示了最速下降法的执行过程，包括定义符号变量、构建目标函数、计算梯度和海塞矩阵，然后进行迭代直到梯度的范数小于预设的阈值`eps`。在每次迭代中，通过线性搜索确定步长`lamda`，并更新参数。这个过程体现了最速下降法的基本计算步骤。 其他优化方法，如共轭梯度法、牛顿法和变尺度法，都是为了改进最速下降法的收敛速度和效率。例如，共轭梯度法通过保持搜索方向的共轭性，减少了锯齿效应；牛顿法利用二阶信息（海塞矩阵）来更快地接近极小点。 最小二乘法和无约束最优化方法在解决实际问题时具有广泛的应用，而理解不同算法的优缺点对于选择合适的方法至关重要。这些方法在机器学习、数据分析、工程优化等领域都有重要应用。