变分不等式与非线性互补问题：算法与数值实验

"该资源主要涉及变分不等式(Variational Inequalities, VI)和非线性互补问题(Nonlinear Complementarity Problem, NCP)的算法及其在数值实验中的应用。文章概述了非线性互补问题的起源、发展和当前研究状态，特别关注了用于解决这些问题的不同数值方法，包括不动点迭代法、投影法、内点法、非光滑牛顿法和光滑化牛顿法。此外，还介绍了一个不动点迭代算法，并证明了其在一定条件下的收敛性。文章的关键点在于变分不等式与互补问题之间的联系，以及这些理论在经济、控制论、对策论等多个领域的广泛应用。" 变分不等式是数学和优化理论中的一个重要概念，起源于解决经济对策均衡和交通指派等问题。它与不动点理论、拓扑度理论、最优化理论等多个领域有着深厚的联系，并在经济平衡、最优控制等领域有广泛应用。变分不等式可以用来表述许多实际问题，比如平衡状态的寻找和决策问题。 非线性互补问题则是变分不等式的一个特例，它与非线性规划、极大极小问题、对策论等有密切关联。作为数学规划的一个分支，非线性互补问题为理解和解决更广泛的数学优化问题提供了理论基础。这类问题的数值方法是研究的重点，例如不动点迭代法利用迭代过程找到问题的解，投影法则通过投影操作来逼近解，而内点法则通过处理问题的内部解来避免边界效应。 非光滑牛顿法和光滑化牛顿法是两种常见的优化策略，它们在处理非光滑问题时能够提供有效的解决方案。非光滑牛顿法在处理具有非连续导数的问题时展现出优势，而光滑化牛顿法则通过引入平滑函数来近似原问题，使得迭代过程更加可控和收敛。 作者在文中不仅介绍了各种算法，还给出了一个不动点迭代算法的详细描述，并证明了在特定条件下算法的收敛性。数值实验结果验证了这种方法的有效性，这在实际应用中是非常重要的。 这篇文章是变分不等式和非线性互补问题领域的一份综合研究，对于理解这两个主题的理论和算法有很高的价值。对于研究者和实践者来说，它是深入探讨相关理论和应用的一个宝贵资源。