Lp{(0, π), dmλ, μ(θ)}空间的正交展开与Poisson函数研究

"这篇论文探讨了Lp{(0, π), dmλ, μ(θ)}空间中的正交展开，特别是涉及由广义的Gegenbauer多项式定义的Poisson函数的收敛性问题以及调和函数对Poisson积分的特性。作者通过极大函数的控制方法研究了Poisson核的收敛性和逆问题，该工作建立在之前对球面函数正交展开的研究基础之上。" 在数学领域，特别是在函数分析和傅立叶分析中，正交展开是一种将函数表示为一组正交基的线性组合的方式。这篇1999年的论文聚焦于特定的空间Lp{(0, π), dmλ, μ(θ)}，这是一个包含在区间(0, π)上的函数空间，其中函数的积分是基于特定的测度dmλ, μ(θ)进行的。这种测度可能涉及到几何或物理问题中的某些特性。 论文的关键概念包括： 1. **Poisson函数**：Poisson函数是一种在数学中用于解决边界值问题的工具，尤其在解析延拓和调和分析中。在本文中，它被定义为与广义Gegenbauer多项式相关的函数，这些多项式是针对特定权函数μ定义的。 2. **Poisson积分**：这是Poisson函数的一种积分形式，它在解决半平面或球面上的调和函数问题时非常有用。论文讨论了Poisson积分与调和函数之间的关系，这有助于理解和表示函数的性质。 3. **调和函数**：在数学中，调和函数是指满足拉普拉斯方程的二阶偏微分方程的函数，它们在物理和工程问题中具有重要意义，比如电场和温度分布。论文中得到了调和函数对Poisson积分的刻画，揭示了两者之间的深刻联系。 4. **广义的Gegenbauer多项式**：这是一种推广了经典Gegenbauer多项式的概念，它们在处理具有某种对称性的函数空间时非常有用。这些多项式构成了一组正交基，允许函数在特定空间内的正交展开。 5. **正交基**：在函数空间中，正交基是一组线性无关的函数，它们满足内积为零（除了对角项外）。广义的Gegenbauer多项式在Lp{(0, π), dmλ, μ(θ)}空间中扮演了这样的角色，为函数提供了一种有效的展开方式。 6. **收敛问题**：论文探讨了由广义Gegenbauer多项式定义的Poisson函数的收敛性，这是函数分析中的一个核心问题，涉及到函数序列的极限行为和函数空间的性质。 作者通过使用极大函数的控制方法来研究这些问题，这种方法可以帮助确定函数序列的收敛性，并且可以用于分析Poisson积分的性质。这项工作的创新之处在于它扩展了对球面函数正交展开的理解，特别是在有限反射群下的测度不变调和函数的背景下。 这篇论文对于理解特殊函数空间中的正交展开理论，以及如何利用这些理论解决实际问题，提供了宝贵的洞见。它对后续的数学研究和应用，特别是在傅立叶分析、调和分析和偏微分方程等领域，有着重要的参考价值。