单种群收获模型：时滞与分段常数变量的稳定性与分支分析

"该资源是一篇发表在2013年3月《陕西师范大学学报(自然科学版)》第41卷第2期的科研论文，由陈斯养和朱晓琳共同撰写。论文主要研究了具有时滞和分段常数变量的单种群收获模型的动态行为，特别是其稳定性和Neimark-Sacker分支的分析。" 文章深入探讨了一个特殊的生态模型，即考虑了时间延迟和分段常数变量的单种群收获模型。在这样的模型中，生物种群的增长受到历史状态的影响（时滞），同时模型参数可能因环境变化而在不同区间内取不同的常数值（分段常数变量）。这种复杂性使得模型的动态行为变得尤为复杂且难以预测。 作者首先利用特征值理论来分析模型的稳定性和平衡态。他们确定了模型正平衡态局部渐近稳定的参数范围，并发现当特定参数满足$r=r_0=\frac{b[e^{b-2}+((e^{b-2})^2+4)^{\frac{1}{2}}]}{2e^{b-1}}$时，系统会出现Neimark-Sacker分支，这是一种周期解的分支现象，通常与混沌行为相关联。 接着，他们运用分支理论和中心流形定理进一步研究了N-S分支的方向和稳定性。通过这些理论工具，他们得到了决定分支方向和稳定性的确切表达式。特别地，他们证明了如果参数满足$d<0$，那么平衡态将分支出一条唯一稳定的闭不变曲线；相反，如果$d>0$，则分支出的曲线是不稳定的。 为了证实理论分析的准确性，作者进行了实例分析和数值模拟。这些实证研究不仅验证了理论结果，还展示了模型在不同参数设定下可能出现的复杂动力学行为，如周期振荡、混沌等。 这篇论文对理解具有时滞和分段常数变量的生态系统的动态行为提供了重要的理论基础，并为未来类似问题的研究提供了方法论指导。它对于生物学家、生态学家以及应用数学家在理解和预测生态系统动态变化方面具有实际意义。