弹性力学的Hamilton体系比例边界有限元解法

"基于Hamilton体系的弹性力学问题的比例边界有限元方法 (2011年)" 本文探讨了一种针对弹性力学问题的求解方法——比例边界有限元方法，该方法是结合了半解析和半数值解法来处理偏微分方程。在处理弹性力学问题时，通常使用基于力学相似性和比例坐标相似变换的加权余量法以及虚功原理，这导致了以位移为未知量的Lagrange体系的系统控制方程。然而，在实际求解过程中，引入了表面力作为未知量，使得问题转换为属于Hamilton体系的控制方程。 为了解决这一问题，文章提出了一种新的策略，即在比例边界有限元离散方法的基础上，利用钟万勰教授的弹性力学对偶（辛）体系。通过对偶变量的引入，可以在Hamilton体系的框架内直接构建控制方程。进一步地，通过区段混合能和对偶方程，可以得到有限域和无限域边界静力刚度所满足的代数Riccati方程。这个方程可以通过特征向量展开方法和精细积分方法进行求解。 文章特别指出，钟万勰教授的对偶（辛）求解体系是基于Hamilton变分原理，它与结构力学和控制理论之间存在模拟关系。在该体系中，可以结合数值方法进行求解，例如半解析半数值方法，这种方法允许在特定坐标方向上进行解析求解，而其他方向则采用有限元离散。然而，这种方法的适用性在几何形状上受到限制，通常适用于条形、轴对称或球对称区域。 John P．Wolf和Chongmin Song两位教授的工作也对此领域做出了贡献，他们提出了比例边界方法，这是一种改进的求解策略，旨在扩展解决复杂几何形状问题的能力。该研究为弹性力学问题的高效和精确求解提供了新的思路，并展示了Hamilton体系在处理这类问题中的潜力和灵活性。