详解Floyd算法：寻找加权图中最短路径

Floyd算法，也称为弗洛伊德算法或插点法，是一种在带权图中寻找所有顶点对之间最短路径的经典算法。其核心原理是通过迭代更新图的邻接矩阵，逐渐计算出图中任意两点之间的最短路径。该算法起始于一个初始的加权邻接矩阵A，然后通过递归的方式，每次迭代都会更新这个矩阵，直到最终得到距离矩阵D，其中每个元素D[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径长度。 算法步骤如下： 1. 初始化距离矩阵D，其元素D[i][j]初始化为j，表示从i到j的最短路径是直接到达j。 2. 对于图中的每个顶点，逐个将其作为“插入点”添加到图中，通过比较插入前后两个顶点之间的路径长度，如果新路径更短，就更新距离矩阵和后继节点矩阵path。 3. 通过比较矩阵D[i][j]和G[i][j]（G为原始邻接矩阵），如果D[i][j]变得更短，说明找到新的最短路径，同时更新D[i][j]为经过的中间顶点k。 Floyd算法特别适合于求解所有顶点对之间的最短路径问题（AllPairsShortestPaths，APSP），在稠密图中表现优异，因为它可以一次性处理所有边的权重，而不仅仅是起点和终点之间的。即使边权可以是正数、负数或零，算法都能有效工作。然而，其主要缺点是时间复杂度较高，为O(n^3)，当处理大规模数据时效率较低，不适用于实时或大规模计算场景。 尽管如此，Floyd算法的优势在于其易于理解和实现，代码编写相对简洁。在实际应用中，如果图的规模适中或者需要频繁查询多对点的最短路径，Floyd算法仍然是一个强大的工具。在选择算法时，应权衡其时间和空间复杂度，根据具体问题的需求进行取舍。