非凸变分不等式与Wiener-Hopf方程的逼近解法

"非凸变分不等式和Wiener-Hopf方程的逼近方法 (2012年)"，作者龚黔芬、闻道君，发表于《西南师范大学学报(自然科学版)》2012年第2期，探讨了非扩张映射下的Wiener-Hopf方程与非凸变分不等式之间的关系，以及它们的求解策略。 文章主要关注的是非凸变分不等式问题，这是一个在理论和应用上都有重要价值的研究领域。作者首先引入了一类包含非扩张映射的新Wiener-Hopf方程，这是对传统Wiener-Hopf方程的扩展。非扩张映射是指映射保持或减少距离，这样的特性在处理某些非线性问题时非常关键。 作者建立了非凸变分不等式问题与Wiener-Hopf方程的等价关系，这意味着通过解决Wiener-Hopf方程可以间接找到变分不等式的解。具体地，他们提出了一种迭代逼近方法来求解非扩张映射的不动点和Wiener-Hopf方程，并在一定的条件下证明了这种方法产生的迭代序列具有强收敛性。这里的不动点理论是解决这类问题的核心工具，它涉及到函数在自身作用下保持稳定点的性质。 文中提到的非凸变分不等式问题通常涉及更复杂的几何结构，因为其解可能不在凸集合内。文献[9-10]为这类问题提供了解决框架，通过一致近似正规集的概念，即非凸集的一种特定表示，来处理非凸性带来的挑战。投影算法被用来处理这种非凸问题，当算子T具有强单调性时，可以保证迭代序列的收敛。 Wiener-Hopf方程在变分不等式问题中起到桥梁作用，特别是在与非线性算子T相关的非扩张映射5的背景下。方程(2)描述了寻找满足特定条件的解z的过程，它是经典变分不等式问题的一个辅助工具，特别是当r趋向于无穷大且5等于单位算子I时，它直接对应于变分不等式。 这篇文章通过引入非扩张映射和Wiener-Hopf方程，为非凸变分不等式问题的数值解法提供了新的视角和方法，同时在迭代逼近和收敛性方面做出了理论贡献。这种方法对于处理实际工程和科学问题中的非线性优化和平衡问题具有潜在的应用价值。