SVM最优间隔与拉格朗日对偶详解

支持向量机(SVM)是一种强大的机器学习算法，其核心概念之一是间隔最大化，这使得它在分类问题中具有很好的泛化性能。最优间隔分类器是SVM中的一个关键部分，它旨在找到一个决策边界，使得各个类别之间的间隔最大化，从而提高模型的鲁棒性和稳定性。 拉格朗日对偶性是解决带约束优化问题的重要工具。在SVM中，原始问题是求解一个包含线性核函数的二次规划问题，其中目标函数是寻找最优权重向量\( w \)，同时要满足类别间隔最大化的要求。拉格朗日函数\( L(w, \alpha) \)通过引入拉格朗日乘子\( \alpha \)来处理等式约束，它的形式为： \[ L(w, \alpha) = f(w) + \sum_i \alpha_i (y_i - w^T \phi(x_i))^2 \] 其中\( f(w) \)是目标函数，\( y_i \)是样本标签，\( x_i \)是特征向量，\( \phi(\cdot) \)是核函数，\( \alpha_i \)是拉格朗日乘子。 拉格朗日乘子方法的核心思想是构造一个新的函数\( L \)，它将原问题的约束条件内嵌到目标函数中。通过分别对\( w \)和\( \alpha \)求偏导数，我们期望找到\( w^* \)和\( \alpha^* \)的一组值，使得\( \nabla_w L(w^*, \alpha^*) = 0 \)且\( \nabla_\alpha L(w^*, \alpha^*) = 0 \)。这个过程确保了\( w^* \)不仅满足原始问题，还满足等式约束，即支持向量对应的约束条件。 对于存在不等式约束的情况，我们引入一般化的拉格朗日函数，并将其转换为对偶问题。原始问题的对偶问题允许我们将问题简化为在\( \alpha \)上求最大值，而不是在\( w \)上求最小值，这在求解过程中通常更为方便。对偶问题的表述是： \[ \max_{\alpha} g(\alpha) \quad \text{subject to} \quad h(\alpha) \leq 0 \] 其中\( g(\alpha) \)是原始问题关于\( w \)的最小值与\( \alpha \)的关系，\( h(\alpha) \)则是约束条件。在某些特定情况下，如凸函数和仿射函数的假设下，原始问题和对偶问题的解之间存在KKT条件，即存在对应的关系，使得两个问题等价。 总结来说，拉格朗日对偶在支持向量机中扮演了关键角色，它帮助我们将复杂的约束优化问题转换为更易于求解的形式，特别是当面临不等式约束时，通过对偶化处理极大地简化了优化过程。理解并熟练应用这一概念对于深入掌握SVM算法及其实际应用至关重要。