[收稿日期] 2005-12-10
[基金项目] 国家自然科学基金 资助项目(10171010) ;吉林省青年科研基金资助项目(10201005) ;国家教育部科学技术关键项目
(01061)
[作者简介] 王汉有(1956- ),男 ,副教授 ,主要从事微分方程与分布式数据库研究 ;王克(1947 - ) ,男 ,博士 ,教授 ,博士研究生导
师 ,主要从事微分方程及生物数学研究 .
[文章编号]1000-1832(2006)02-0006-05
含参数周期性系数
微分方程的利雅普诺夫特征指数问题
王汉有
1
,王 克
2
,丁效华
2
,范德军
2
,姚 卓
3
(1. 吉林农业工程职业技术学院信息工程系 ,吉林 公主岭 136100 ;
2. 哈尔滨工业大学数学系 ,山东 威海 264209 ;
3. 北华大学数学学院 ,吉林 吉林 132033)
[摘 要] 指出了多种方程利雅普诺夫指数的演变过程 ,证明了这些方程都具有含参变量的
周期系数 ,并且给出一种基于标量方程ε
x
··
+[
p
1
+
c
1
(
t
)]
x
·
(
t
)=[
p
2
+
c
2
(
t
)]
x
(
t
)利雅谱诺
夫特征指数的近似计算方法 .
[关键词] 利雅普诺夫指数 ;周期系数 ;近似计算
[中图分类号]
O
175.1 [学科代码] 110·44 [文献标识码]
A
1 主要结果
数值
λ
x
(
t
) =
lim
t
→∞
1
t
ln x
(
t
),
x
(
t
)≠0
是方程
x
·
(
t
)=
A
(
t
)
x
(
t
)的解 ,即 λ
x
(
t
)
是
x
(
t
)的利雅普诺夫特征指数(
LCI
).
LCI
的完全分解归结为如下问题 :
(1)
LCI
是否存在 ,如果存在则有多少 ;
(2)
LCI
求解的可行性 .
第一个问题的答案已经由利雅普诺夫给出
[1 - 2]
.他的结论是在许多关于方程条件方面的论著中抽
象概括出来的 .第二个问题还远没有解决 ,尤其在满足周期性的情况 ,即
A
(
t
)=
A
(
t
+
T
);但是,如果
利用近似计算的手段 ,那么解决第二个问题就不那么困难了 .事实上 ,我们现在已经可以计算出方程
x
·
(
t
)=
A
(
t
)
x
(
t
)的完全矩阵分解 ,并且可以达到我们所预期的精度 ,通过它的定义 ,近似计算出
LCI
.然
而 ,前面的做法只是在
A
(
t
)=
A
(0)时比较有效 ,也就是说在系数矩阵
A
(
t
)为常数矩阵时有效 .在本
文 ,我们将给出一种基于标量方程
ε
x
··
+[
p
1
+
c
1
(
t
)]
x
·
(
t
)=[
p
2
+
c
2
(
t
)]
x
(
t
)(1)
的
LCI
近似计算方法 ,这里 ε≠0 ,
p
j
=
p
j
(ε).
c
j
(
t
)=
c
j
(
t
,ε)= ∑
N
(ε)
|
r
|= 1
c
j
,
r
(ε)
exp
(
irt
). (2)
其中 :
j
=1,2;
p
j
(ε),
N
(ε),
c
j
,
r
(ε)依赖于参数
t
.
我们首先假设
第 38 卷第 2 期 东北师大学报( 自然科学版)
Vol
.3 8
No
.2
2006 年 6 月
Journal of Northeast Normal University
(
Natural Science Edition
)
Ju n e
2006