树状数组详解：区间和查询与动态更新

本文主要讲解了如何利用树状数组（也称二叉索引树或BIT）进行区间和查询，特别是针对动态区间和操作。树状数组是一种高效的数据结构，用于处理数组的区间和问题，通过预先计算数组元素的前缀和（Si）来实现快速查询。在给定的数组A1, A2, ..., An中，每个元素Ai可以通过构建辅助数组C来表示，其中Ci等于从Ai开始的连续子数组的和，即Ci = Ai - lowbit(i) + 1 + ... + Ai。 低比特(lowbit(x))函数在树状数组中起到关键作用，它返回一个整数x二进制表示中最右边的1对应的值。例如，对于数字15，lowbit(15) = 1，因为15的二进制表示是1111，最右边的1对应位是1。这个函数有助于确定结点在树结构中的位置关系：如果节点i是左子节点，则其父节点为i + lowbit(i)；如果是右子节点，则父节点为i - lowbit(i)。 在计算前缀和Si时，可以通过一个递归过程实现，如提供的代码所示： ```cpp int sum(int i) { int s = 0; while (i > 0) { s += c[i]; i -= lowbit(i); } return s; } ``` 这个函数从节点i出发，每次将Ci加到累积和s中，然后更新i，直到i减至0或变为负数，这样就可以快速得到从1到i的元素和。 对于动态区间和查询，即Add(x,d)操作和Query(L,R)，树状数组的更新操作遵循以下步骤： 1. 如果修改了Ai，从Ci开始，向右遍历并更新沿途所有结点的Ci值，直到遇到父节点。 2. 预先对C数组进行初始化（通常是清空）后，通过n次add操作（一次对每个元素）更新所有元素，总时间复杂度为O(nlogn)，因为每次更新涉及O(logn)的树操作。 树状数组是一个强大的工具，通过计算前缀和和灵活的更新策略，使得区间和查询在常数时间内完成，这对于实时数据更新和高效的查询需求尤其有用。理解并掌握这一技巧在解决计算机科学中的各种问题时具有重要意义。