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MATLAB求解方程组与建模:方法与实例
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更新于2024-06-26
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本章节主要探讨的是数学模型中的方程(组)求解方法,特别是在计算机辅助下的求解策略。首先,章节目标强调复习基本的求解原理,如因式分解法,这是一种适用于多项式和特定函数的解题手段,但对复杂的函数形式可能不适用。图形放大法作为一种直观且便利的方法,利用计算机绘制函数图像,寻找曲线与x轴的交点,即使得到的根可能存在误差,但能够快速确定解的分布和大致范围,并通过图形局部放大提高精度。 图形放大法的具体步骤包括建立坐标系、绘制函数曲线、观察交点、对交点进行局部放大以识别根,最后处理所有交点以获取所有解。例如,例1.1中演示了如何运用这种方法求解方程2x^2 + 4x = 0,通过图形方法找到其所有根。 另一个核心部分是数值迭代逼近法,它基于零点存在性定理,针对在给定区间内存在解的情况,通过反复迭代来逼近精确解。这种方法进一步细分为区间迭代(如对分法和黄金分割法)和点的迭代(如简单迭代法、单点割线法、两点割线法和牛顿法)。在迭代过程中,如果遇到收敛缓慢或失败,可以采取加速迭代技术来优化收敛速度。 整个章节不仅关注理论,还通过实例展示如何在MATLAB软件中实现这些方法,让读者理解实际问题的建模过程以及如何设计相应的程序。通过学习,学生不仅能掌握基础的方程求解技巧,还能掌握使用MATLAB这样强大的工具进行数值计算和模型求解,这对于工程和科学研究具有重要意义。
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因此我们可以看出这个实根的值在-1.55~-1.5 之间。
1.2.2 简单迭代法
1.迭代算法步骤:
对方程 f(x)=0 求解
(1) 对方程经过简单变形得到 ( ) (不是唯一的),x 被称之为
x
x
不动点;
(2) 设置 x 为迭代初值,迭代过程为 x (x ),n=0,1,2……
0
n1
n
(3) 当两次迭代结果之差小于某个设定的误差值时,我们认为迭代
结果是收敛的,可得到结果的近似值 x x 。
n1
例 1.2 求方程3 0 的非负实根。
x ex
6
解:由于函数3 连续,并且在 x=0 和 x=1 处函数值符号相反,可
x e
x
以判断函数在区间(0,1)必有零点,即方程3 0 在(0,1)内必
x ex
然存在根。
(1) 先将函数变形为 / 3;
x e
x
(2) 设置迭代初值为 0,编程进行迭代。
n=1;
x=0;
y=exp(x)/3;
ys=vpa(y,10);
%给出 y 的数值型结果,有效位数为 10
z=abs(y-x);
while z>10^(-5)
x=y;
y=exp(x)/3;
ys=vpa(y,10);
z=abs(y-x);
n=n+1;
end
n,y,ys
n =
21
y =
0.6190
ys =
.6190471917
7
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