李相文：幂图的$Z_3$-连通性：必要条件与充分条件

在"幂图的$Z_3$-连通性"这篇首发论文中，作者李相文探讨了连通图的幂图结构。文章主要关注的是图的$Z_3$-连通性，这是一种拓扑性质，表示一个图在局部删除某些边后仍然保持至少三个顶点的连通性。这里的$Z_3$-连通意味着即使移除任意两个边，剩下的子图仍然能够保持至少三个顶点之间的路径，且这些路径不共享任何中间顶点。 论文首先定义了对于正整数$k \geq 2$，图$G^k$是由原图$G$通过添加新边$uv$来构造的，其中$2 \leq d(u, v) \leq k$。这种构造过程生成了一种更稠密的图，即$G$的幂图。研究对象是Abelian群$A$，其大小$|A| \geq 3$，这通常用于表示图的权值或结构。 李相文的主要贡献在于证明了当$l \geq 3$时，对于任何连通图$G$，其$G^l$具有$Z_3$-连通性的充分必要条件。具体来说，他发现当图$G$的顶点数$|V(G)| \geq 5$或者$G$与单顶点图$K_1$（孤立顶点）同构时，$G^l$是$Z_3$-连通的。这意味着在满足特定条件的情况下，增加边的数量可以增强图的局部连通性，但并不能改变基本的连接结构。 这篇论文的引入部分可能介绍了背景知识，包括图的基本定义、幂图的概念以及$Z_3$-连通性的概念。此外，还提到了关于图的定向和顶点邻接边集的定义，这些都是讨论幂图性质时不可或缺的部分。 李相文的工作深入分析了连通图的幂图在特定条件下保持$Z_3$-连通性的规律，这对于理解图论中的连通性和图的演化有着重要的理论价值。该成果对于设计网络结构、图算法和图的压缩表示等方面具有潜在的应用。