Cramer-Von Mises检验的鞍点逼近算法提高尾概率计算精度

Cramer-Von Mises检验是一种统计方法，用于检验一个数据集是否符合某种假设的分布，比如零假设下的总体分布。该检验基于统计量2/nW，其中n是样本大小，W是Cramer-Von Mises检验统计量，它衡量了样本经验分布函数与理论分布函数之间的差异。当n趋向于无穷大时，这个检验统计量的极限分布具有重要的理论价值，因为它可以提供拒绝或接受零假设的依据。 然而，Cramer-Von Mises的极限分布本身是一个复杂的函数，这使得在实际应用中计算其具体的概率分布和进行理论分析变得困难。原有的研究如Cramer(1936)、Tolmtz(文献[1])以及Anderson和Darling(文献[2])分别给出了特征函数的极限表达，但这涉及到高级数学工具，如Brown桥泛函、抛物柱面函数和Bessel函数，这些解析解对于非专业用户来说不易理解和计算。 为了克服这一问题，庄新瑞和李波（华中师范大学数学与统计学学院）在本文中提出了一种鞍点逼近算法，这是一种数值逼近方法，旨在简化Cramer-Von Mises检验统计量的极限分布的计算。这种方法避免了复杂的理论推导，直接提供了一个实用的近似公式来估计尾概率，即在特定置信水平下检验统计量超过某个阈值的概率。通过数值计算的结果，他们证明了这种方法的精度较高，适用于实际应用中的概率计算。 值得注意的是，鞍点逼近已经被广泛应用于其他领域，例如信号处理、优化理论和概率论中，是一种被实践证明有效的数值分析技术。通过这种方法，研究人员能够有效地解决Cramer-Von Mises检验中复杂的概率问题，使得统计检验更加便捷和有效。 总结来说，本文的贡献在于提供了Cramer-Von Mises检验统计量极限分布的简便计算方法，这对于需要快速估计极限分布尾部概率的统计学家和应用者来说是一大进步。这种方法的实现和验证，进一步推动了统计检验的实际应用，尤其是在大数据背景下对分布拟合优度检验的需求。