CORDIC算法详解：实现arctanh与双曲系统向量模式计算

CORDIC算法是一种快速且低功耗的算术逻辑运算单元（ALU）设计方法，特别适用于处理浮点数和复数运算。在FPGA中，CORDIC算法被广泛应用，尤其是在信号处理和数字信号处理系统中，因为它能够高效地执行特定的数学函数，如arctanh（双曲反正切）和sqrt(x^2 - y^2)。 本文主要介绍了两种类型的CORDIC算法实现：传统的和扩展的。传统CORDIC算法遵循一个递归公式，如1-1所示，其中x和y作为向量的分量，通过逐次调整它们的值来逼近目标函数的值。每个迭代步骤中，根据x(i+1)和y(i+1)的符号决定增量方向（d），然后根据双曲系统中的缩放因子w进行调整。初始条件包括z0=0, x0=1, 及绝对值较小的atanh(y0/x0)（约小于1.1182），保证了算法的有效收敛性。 输入的x0和y0满足特定的关系，x0大于y0，当atanh(y0/x0)在一定范围内时，算法的目标是计算出z=atanh(y0/x0)和x=w*sqrt(x0^2 - y0^2)。为了确保收敛性，迭代序列需要按照特定模式重复，例如i=123445等，这与双曲系统的缩放因子w=0.82816有关。 扩展的双曲系统通过修改迭代序列，如i=-M,-M+1,...,-1,0,1,2,3,4,4,5，进一步增加了算法的收敛范围。这种扩展允许处理更大的输入值，但M的选择会影响收敛性能。具体的收敛范围和M的关系可能通过实验或公式得出，但通常情况下，实际应用中M不需要太大，因为atanh(0.99999)大约等于6.103，这就限制了实际需要处理的极端情况。 文章提供了一个Matlab实现的传统CORDIC算法示例，展示了如何通过循环结构和条件判断来逐步逼近目标函数。这个实现中，w的值会根据迭代次数的变化进行相应调整，以适应不同阶段的计算。 CORDIC算法是一种高效且适合硬件实现的算法，特别适合于FPGA中的数值计算任务，尤其是在处理双曲函数时，它的迭代性质使得它能够在有限的硬件资源下完成复杂的数学操作。通过理解并掌握CORDIC算法的工作原理和特点，可以优化FPGA的设计，提高计算性能。