平衡二叉排序树（AVL树）：概念、性质与插入操作

"平衡二叉树-平衡二叉排序树" 平衡二叉树是一种特殊的二叉树结构，设计目的是为了优化二叉搜索树在最坏情况下的查找效率。在最不平衡的情况下，二叉搜索树可能会退化成链表，导致查找时间复杂度变为O(n)。平衡二叉树通过确保树的左右子树高度差不超过1，从而保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度维持在O(log n)。 在平衡二叉树中，一个结点的平衡因子（或平衡度）定义为该结点左子树的高度减去右子树的高度。如果平衡因子为-1、0或1，则称该结点是平衡的。一棵平衡二叉树是所有结点的平衡因子都在这个范围内，并且其左右子树也都是平衡的二叉树。常见的平衡二叉树类型有AVL树，它是最早的自平衡二叉搜索树。 平衡二叉排序树（如AV树）是一种特殊的平衡二叉树，它不仅保持了平衡性，还满足二叉排序树的特性，即对于任意结点，其左子树中的所有结点值都小于该结点，右子树中的所有结点值都大于该结点。这使得在平衡二叉排序树中查找、插入和删除操作的平均时间复杂度为O(log n)。 当向平衡二叉排序树中插入新的结点时，可能破坏原有的平衡状态。例如，如果在一个平衡的树中插入一个新的结点，可能会导致某个结点的平衡因子变为大于1或小于-1，从而使得树不再平衡。在这种情况下，需要进行旋转操作来重新平衡树。常见的旋转方法包括左旋、右旋以及双旋，这些操作的目标是在不改变树的排序特性的前提下，调整结点的位置以恢复平衡。 以插入操作为例，如果在原本平衡的树中插入一个结点，例如在下图中插入值为2的结点，可能会使结点9成为危机结点，因为它的平衡因子发生了变化。为了保持树的平衡，我们需要从插入结点开始向上遍历，找到第一个平衡因子不为0的结点（这里是9），然后根据需要对9及其子树进行旋转。旋转的目的是保持以危机结点为根的子树高度不变，同时恢复整棵树的平衡。 平衡二叉树和平衡二叉排序树的概念是优化二叉搜索树性能的关键。通过保持树的平衡，它们可以确保搜索、插入和删除操作的高效性，这对于大数据量的处理尤其重要。理解并掌握平衡二叉树的原理和操作，对于从事计算机科学尤其是数据结构和算法相关的工作者来说是至关重要的。