线性代数填空与选择题解析：行列式、方阵性质

"2018春A答案2" 在这些题目中，我们看到了与线性代数相关的多个知识点，特别是关于矩阵的操作和性质。以下是详细解释： 1. 矩阵行列式的计算： 题目中涉及到了矩阵行列式的计算，如问题1和4。行列式是矩阵的一个重要属性，它可以反映矩阵的某些特性。例如，对于一个3阶方阵A，如果|A|不等于0，那么A是可逆的。问题1中，通过将给定矩阵变换，我们计算得到|A|=−9。问题4则涉及到上三角形矩阵的行列式，它可以直接由对角线元素乘积得到，结果是(-1)^n(n-1)/2 * n!，其中n是矩阵的阶数。 2. 矩阵的运算与逆矩阵： 在问题3中，讨论了矩阵乘法以及矩阵的逆。给定矩阵A的特征是，它作用于一组线性无关的向量后，会将这些向量按照特定的方式重新组合。通过矩阵乘法的性质，可以推导出矩阵A的相似矩阵B，从而求得|A|。这里展示了如果P可逆，那么存在P使得P^-1AP=B，即矩阵A与B相似，因此|A|=|B|。 3. 余子式和代数余子式： 问题2中提到了矩阵的代数余子式，这是计算行列式的一种方式。代数余子式是矩阵元素的余子矩阵的行列式乘以该元素的符号。根据克拉默法则，矩阵的第一行元素与第二行元素的代数余子式乘积之和为0，可以求得未知数α的值。 4. 齐次线性方程组的解： 问题5涉及到了齐次线性方程组，这种方程组所有常数项都为0。如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数矩阵的行列式必须为0。通过求解系数矩阵的行列式，我们可以找到参数λ的值，使得方程组有非零解。 5. 线性相关性和线性表示： 在选择题部分，问题1讨论了向量组的线性相关性。如果一个向量组可以被另一个向量组线性表示，这并不意味着前者或后者必须是线性相关的。然而，如果向量的个数大于它们所在空间的维度（即r>s），那么向量组(I)必然是线性相关的。 6. 矩阵乘法的性质： 问题2中的选择题涉及矩阵乘法的性质，特别是矩阵乘法的结合律。如果ABC=I，这意味着A,B,C的乘积是单位矩阵。根据矩阵乘法的性质，我们可以通过重新排列因子来保持乘积不变，例如CAB=I。 以上知识点涵盖了矩阵理论的基础部分，包括行列式、逆矩阵、余子式、齐次线性方程组的解、线性相关性以及矩阵乘法的性质。这些是线性代数学习的核心概念，对于理解和解决更复杂的线性系统问题至关重要。