动态规划求解最长公共子序列：最优决策与递推关系

本文主要介绍了计算最长公共子序列（LCS）长度问题的动态规划解决方案，以及动态规划的基本概念和最优性原理。 在计算两个字符串的最长公共子序列时，动态规划是一种有效的算法。该算法通过构建一个二维数组 `c` 来存储前i个字符的字符串x和前j个字符的字符串y的最长公共子序列长度。初始化数组的边界条件为c[i][0] = 0和c[0][j] = 0，表示空字符串的最长公共子序列长度为0。接着，通过双重循环遍历字符串x和y的字符，当x[i]等于y[j]时，将c[i][j]设为c[i-1][j-1]加1，表示找到了一个匹配字符；否则，比较c[i-1][j]和c[i][j-1]，取较大者作为c[i][j]的值，表示在不包括当前字符的情况下，之前的子序列长度。 动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，由R.E.Bellman在20世纪50年代提出。这种方法的核心是将复杂问题分解为多个相互关联的子问题，然后通过递推或自底向上的方式求解，以找到全局最优解。动态规划适用于那些满足最优子结构和重叠子问题的优化问题，如背包问题、装载问题等。 最优性原理指出，一个决策过程的最优解可以从任何中间状态开始，后面的决策序列必须是最优的。这意味着无论初始状态如何，后续决策都应构成一个最优序列。为了使用动态规划，需要证明问题满足最优性原理，并找出问题状态之间的递推关系式。 例如，多段图问题是一个典型的动态规划应用。在这种问题中，目标是找到从源结点s到汇点t的最短路径，而图被分为多段，每段内部可能存在多条边。动态规划可以通过建立状态表示当前所在段及已走过的总距离，通过递推公式更新每个状态的最短路径，最终得到整个图的最短路径。 总结起来，动态规划是一种强大的工具，常用于解决最优化问题，如计算最长公共子序列、背包问题、最短路径等。通过理解问题的最优子结构和状态转移方程，可以有效地构建动态规划模型并求得最优解。