矩阵方程AXB=C的(M, N)对称解研究与优化近似

本文由邓符花和尤传华两位作者合作撰写，发表于2009年5月2日，主要探讨了矩阵方程AXB=C的(M, N)-对称解的问题。在这个研究中，他们利用了广义奇异值分解（GSVD）、克罗内克积以及矩阵的摩尔-彭罗斯广义逆等工具进行深入分析。 首先，(M, N)-对称矩阵是一种特殊的矩阵形式，它结合了正交性和对称性或反对称性特征，即如果矩阵A可以表示为A = M + N，其中M是对称矩阵，N是反对称矩阵，且满足M' = M, N' = -N。这种结构在许多实际问题中具有重要意义，例如在信号处理、控制系统设计和数值计算等领域。 文章的核心内容包括以下几个方面： 1. 方法论：作者运用了广义奇异值分解（GSVD），这是一种扩展了奇异值分解的高级工具，它能处理线性方程组中系数矩阵的不完全秩情况，从而找到更精确的解。GSVD能够分解矩阵成三个部分，这在寻找对称解时提供了一种有效的途径。 2. 理论分析：通过对矩阵方程AXB=C的特性，作者推导出(M, N)-对称解存在的必要和充分条件。这些条件不仅涉及矩阵的结构，还与矩阵的奇异值分布和广义逆有关，为了解的存在性和唯一性提供了数学基础。 3. 近似优化：文中还讨论了一个与给定矩阵在(M, N)-对称解集合上的相关最优逼近问题。通过解决这个问题，可以找到最接近目标矩阵的最佳(M, N)-对称矩阵解。 4. 符号与定义：为了理解文章的严谨性，文中定义了必要的符号，如n维实向量集Rnd，矩阵集Rm×n、S^n×n、O^n×n，以及矩阵的摩尔-彭罗斯广义逆、Frobenius范数和转置等概念。 邓符花和尤传华的研究不仅深化了对(M, N)-对称矩阵方程解的理解，而且为相关领域的理论和应用提供了新的计算工具和技术，对于矩阵理论、数值分析和工程问题求解具有重要价值。